Die Topologie ist ein Teilgebiet der Mathematik und beschäftigt sich mit Verformungen von Strukturen und ihren Eigenschaften. Beispielsweise wird in der Topologie untersucht, welche Körper topologisch „gleich“ sind, also durch Verformungen wie Quetschen oder Dehnen ineinander überführt werden können.
Ein einfaches Beispiel
Topologisch gesehen sind zum Beispiel die Kugeloberfläche und die Oberfläche eines Quaders gleiche Strukturen, denn durch Drücken und Dehnen kann ich diese ineinander umformen. In der Topologie nennt man solche Strukturen dann homöomorph.
Zwei zueinander homöomorphe Strukturen, die man durch „Drücken” ineinander überführen kann.
Ein einfaches Gegenbeispiel
Strukturen sind topologisch gesehen nicht homöomorph, wenn sie beispielsweise eine unterschiedliche Anzahl von Löchern aufweisen. Eine Kugeloberfläche (in der Mathematik „Sphäre“ genannt) hat kein Loch. Ein Donut dagegen, den man auch Torus nennt, hat ein Loch in der Mitte. Man kann nun eine Sphäre nicht nur durch Drücken in einen Torus umwandeln, dazu müsste man ein Loch erzeugen – deshalb sind diese zwei Strukturen nicht homöomorph.
Der Torus ist nicht homöomorph zur Sphäre, da er ein Loch hat. Das rote Band kann nie auf einen Punkt zusammengezogen werden.
Ein Torus ist allerdings homöomorph zu einer Tasse, da beide Strukturen die gleiche Anzahl von Löchern aufweisen, nämlich eines. Wie man diese beiden Strukturen ineinander überführen kann, sieht man hier:
Torus und Tasse sind homöomorph zueinander, da man eine Verformung findet, die beide Strukturen ineinander überführt. Das Loch in der Mitte des Torus wird zum Henkel der Tasse.
Eine Anschauung: Gummibänder
Der französische Mathematiker und Topologe Henri Poincaré nutze als Anschauungsmodell für Homöomophie zwischen zwei Strukturen seine gedachten Gummibänder. Er stellte sich vor, man würde um eine Struktur ein Gummiband legen und überlegte nun, ob und wie man dieses Band auf einen Punkt zusammenziehen kann. Bei der Sphäre – und allen dazu homöomorphen Strukturen – ist das bei allen Bändern möglich. Beim Torus, also der donutförmigen Struktur, geht das nicht, denn wenn man ein Gummiband durch das Loch in der Mitte nach außen legt, kann man dieses Band nie zusammenziehen.
Gummibänder auf der Kugeloberfläche (Sphäre): Jedes Band kann zu einem Punkt zusammengezogen werden
Die Poincaré-Vermutung
Henri Poincaré stellte 1904 die berühmte und nach ihm benannte Poincaré-Vermutung auf. Diese Verallgemeinert unser Beispiel von der Kugel- und Quaderoberfläche in unserem dreidimensionalen Raum auf höhere Dimensionen. Er vermutete, dass alle höherdimensionalen Strukturen ohne Loch homöomorph zur höherdimensionalen Sphäre sind. Dieses Problem ist so komplex und schwer zu beweisen, dass es über 100 Jahre gedauert hat, bis Grigori Perelmann 2003 schließlich einen vollständigen Beweis vorlegen konnte. Den Millenium-Preis mit einem Preisgeld von einer Million US-Dollar lehnte er ebenso ab wie die Fields-Medaille.
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Topologie bei vismath
Blog-Artikel: Das Möbiusband
04.11.2013 –
Das Möbiusband ist eine besondere mathematische Fläche. Man kennt das Band aus verschiedenen Kunstwerken, ganz berühmt ist beispielsweise M. C. Eschers Darstellung von Ameisen auf dem scheinbar unendlichen Weg entlang des Bands. Mathematisch gesehen ist diese Fläche besonders, da sie nicht-orientierbar ist. Das heißt, man kann kein Innen und kein Außen unterscheiden.
Blog-Artikel: Henri Poincaré
29.04.2012 –
Henri Poincaré war ein französischer Mathematiker. Er gilt als Begründer der algebraischen Topologie und beschäftigte sich auch mit der Zahlentheorie, theoretischen Physik und Philosophie.
Anlässlich seines 158. Geburtstags werfen wir heute einen Blick auf sein Leben und Wirken.
Buch: Das Poincaré-Abenteuer
Das Wettrennen um das größte Rätsel der Mathematik.
George G. Szpiro erzählt den weltweiten Wettlauf um den Beweis der Poincaré-Vermutung als aufregenden Krimi. 1904 erdachte Henri Poincaré die Formel, die die Geometrie des Universums beschreiben sollte – 100 Jahre lang konnten die Giganten der Mathematik sie nicht beweisen. Bis Grigori Perelman, ein geheimnisvolles Genie aus Russland, die Lösung einfach ins Internet stellte…
Buch: Der Beweis des Jahrhunderts
Er ist möglicherweise der brillanteste Kopf der Welt und lebt äußerst zurückgezogen bei der eigenen Mutter: Masha Gessen widmet dem exzentrischen russischen Mathematiker Grigori Perelman eine Biographie.
2002 konnte er die Poincaré-Vermutung, eines der Millenium Probleme, beweisen. Deren Lösung ist mit einer Millionen Dollar dotiert. Aber Perelman lehnte ab, nicht nur das Geld, sondern zunehmend auch die Welt.
Buch: Die Architektur der Mathematik
Obwohl die Mathematik aus mehr als dreitausend Einzeldisziplinen besteht, ruht ihr Hauptgebäude auf nur drei Säulen, und zwar den drei Arten von Beziehungen, in denen Elemente einer Menge zueinander stehen können: Ordnungsstruktur, der algebraischen Struktur und der topologischen Struktur.
Ausgehend davon wird die gesamte Mathematik mit ihren mehr als dreitausend unterschiedlich spezialisierten Einzeldisziplinen untersucht. Und es stellt sich heraus, dass alles nur auf einem basiert: der leeren Menge.
Film: Art and Mathematics: Dimensions
Aus der Reihe „Kunst und Mathematik“: Dimension.
Was bedeutet „Dimension“? Und warum können wir uns mehr als drei Dimensionen nicht vorstellen? Dieser Film zeigt, wie Computervisualisierungen helfen können, sich die vierte Dimension vorzustellen.
Film: Art and Mathematics: Flatland
Aus der Reihe „Kunst und Mathematik“: Flatland.
Nach dem gleichnamigen Buch von Edwin A. Abbott: eine Variante dieser faszinierenden Geschichte einer zweidimensionalen Welt. Wie bewegen sich zwei Bewohner von „Flatland“ aneinander vorbei? Was passiert, wenn es regnet? Und was müssen die stabförmigen Frauen tun, um von vorne gesehen zu werden – mit dem Hinterteil wackeln. Dies sind nur einige Besonderheiten dieser speziellen Welt.
Film: Art and Mathematics: Knots
Aus der Reihe „Kunst und Mathematik“: Knoten.
Knoten sind in der Seefahrt unerlässlich. Aber auch Mathematiker beschäftigen sich der Beschreibung von Knoten und ihren Eigenschaften. Doch was ist an diesen Gebilden so faszinierend, dass sich auch Künstler damit beschäftigen?
Film: Art and Mathematics: Möbius Strip
Aus der Reihe „Kunst und Mathematik“: Das Möbiusband.
Diese besondere Fläche und ihre einzigartigen Eigenschaften faszinieren Künstler und Mathematiker gleichermaßen seit der Entdeckung 1858. Dieser Film untersucht das Möbiusband und seine Eigenschaften. Was passiert zum Beispiel, wenn man ein Möbiusband zerschneidet?
Film: Art and Mathematics: Soap Bubbles
Wie kann man mit einer gegebenen Strecke die größte Fläche einschließen? Und warum lösen Seifenblasen dieses Problem „automatisch“? Dieser Film aus der Reihe „Art and Mathematics“ erklärt diese Problematik und zeigt, wie Künstler diese in der Natur vorkommende Optimierung verarbeiten.
Film: Art and Mathematics: Symmetry and Tesselation
Aus der Reihe „Kunst und Mathematik“: Symmetrie und Parkettierungen.
Symmetrische Muster wie Parkettierungen werden gerne in der Architektur benutzt. So sind sie beispielsweise im Dogenpalast in Venedig, der Alhambra in Grenada oder in anderen Mosaiken zu finden.
Symmetrie kommt in der Natur und im Menschen sehr oft vor und wird daher als Perfektion angesehen. Schon die Griechen untersuchten das Verhältnis verschiedener Teile zueinander. Die richtige Proportion von Teilen eines Bauwerks machten seine Schönheit aus.
Film: Clouds are not Spheres
Wolken sind keine Kreise, Berge sind keine Kegel, Baumrinde ist nicht glatt – drei Beobachtungen aus der Natur, die nicht besonders überraschen. Doch genau solche Erkenntnisse haben Benoît Mandelbrot (1924–2010) dazu gebracht, die „normale“ euklidische Geometrie zu erweitern und eine neue Art der Mathematik zu erfinden und zu betreiben: die fraktale Geometrie.
In diesem Film von Nigel Lesmoir-Gordon begleiten uns Martin Shaw und Mandelbrot selbst in die Welt der Fraktale.
Film: Die Borromäischen Ringe
Die Borromäischen Ringe bestehen aus drei miteinander verbundenen Ringen. Entfernt man eine Komponente, sind die anderen beiden frei voneinander. Dieser Film betrachtet den Zusammenhang zwischen den Borromäischen Ringen und der sogenannten „Jitterbug“-Bewegung.
Buckminster-Fuller prägte den Begriff „Jitterbug“ als Beschreibung der Transformation eines Oktaeders zu einem Kuboktaeders, die in diesem Film gezeigt wird.
Film: Dimensions
In neun Kapiteln erzählt dieser Film anschaulich und allgemeinverständlich Geschichten aus der Mathematik, die uns auf eine Reise in die vierte Dimension vorbereiten. Die Kapitel beinhalten Themen aus Geometrie und Geographie, erzählen von Escher, Schläfli und Ptolemäus, von platonischen Körpern, komplexen Zahlen und Projektionen.
Der Film ist in mehrere Kapitel unterteilt, die zunehmend komplexere Themen behandeln. Doch gerade die ersten 5 Kapitel sind auch für Einsteiger geeignet. Viel Spaß!
Film: Flatland
Nach dem Buch „Flächenland“ von Edwin A. Abbott: Flatland ist nicht die Welt, wie wir sie kennen, denn in Flatland ist alles zweidimensional, also flach. Alle Einwohner von Flatland sind Vieleck. Der soziale Rang eines Flatland-Bewohners hängt davon ab, wie viele Ecken er hat. Mehr Ecken haben heißt mehr Bedeutung in der Flatland-Gesellschaft.
Dieser animierte Film begleitet das Sechseck Hex und Arthur Square bei der Entdeckung Dimensionen, die über ihr Vorstellungsvermögen hinausgehen. Dabei müssen Sie nicht nur gegen ihre eigenen Vorstellungsgrenzen kämpfen, sondern auch gegen die unbeugsamen Herrscher über Flatland.
Film: Numbers
Wir wenden jeden Tag Mathematik an. Manchmal bewusst, manchmal unbewusst. Und auch wenn uns Ereignisse zufällig erscheinen mögen – meist verbirgt sich gerade hinter Verbrechen ein mathematisches Muster. Die amerikanische Erfolgsserie Numbers (auch NUMB3RS) erzählt von zwei ungleichen Brüdern: dem FBI-Agenten Don und dem mathematisch hochbegabten Charlie. Sie nutzen die Mathematik, um gemeinsam Kriminalfälle zu untersuchen und aufzuklären.
Film: The Colours of Infinity
Arthur C. Clarke gibt eine Einführung in die Welt der Fraktale. Wir erfahren mehr über ihre Entdeckung, ihre faszinierenden Eigenschaften und die Menschen, die sich mit Fraktalen beschäftigen. Fraktale werden erst seit wenigen Jahrzehnten eingehend untersucht und faszinieren seitdem die Wissenschaft. Verschiedene Visualisierungen zeigen die unendliche Genauigkeit der Menge und ihre natürlich anmutenden Strukturen.