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Dimensions

Eine Reise durch die Mathematik!

In neun Kapiteln erzählt dieser Film anschaulich und allgemeinverständlich Geschichten aus der Mathematik, die uns auf eine Reise in die vierte Dimension vorbereiten.

Die Kapitel beinhalten Themen aus Geometrie und Geographie, erzählen von Escher, Schläfli und Ptolemäus, von platonischen Körpern, komplexen Zahlen und Projektionen.

Der Film ist in mehrere Kapitel unterteilt, die zunehmend komplexere Themen behandeln. Doch gerade die ersten 5 Kapitel sind auch für Einsteiger geeignet. Viel Spaß!

Inhaltsübersicht

Kapitel 1: Dimension 2

Der griechische Astronom Hipparchos begleitet uns in die Welt der Geographie und zeigt ihre Verbindungen mit der Mathematik. Nimmt man an, dass die Erde eine Kugel ist, dann entspricht ihre Oberfläche der Sphäre S² . Diese Sphäre ist zweidimensional, da jeder Punkt auf ihr durch zwei Koordinaten beschrieben werden kann. Es wird erläutert, was Längen- und Breitengrad, Großkreis und Meridian mathematisch bedeuten. Möchte man die Sphäre auf eine Ebene) projizieren, zum Beispiel um sie zeichnen zu können, muss eine geeignete Projektion gefunden werden. Hipparchos wählt eine stereographische Projektion und in anschaulichen Animationen wird erläutert, welche besonderen Eigenschaften diese hat.

Kapitel 2: Dimension 3

Nach der Einführung in die zweidimensionale Welt zeigt dieses Kapitel, wie komplex der Übergang in eine höhere Dimension sein kann. Wir folgen den Echsen aus einem Gemälde von M.C. Escher, die sich von ihrem zweidimensionalen Dasein auf einem Blatt Papier lösen und den dreidimensionalen Raum erkunden. Anhand der fünf platonischen Körper wird verdeutlicht, wie schwer es sein kann, die Formen zu erkennen, wenn man diese nicht dreidimensional sieht. Wie die Echsen auf dem Papier betrachten wir nur ihre Schnitte mit der zweidimensionalen Ebene. Anschaulicher ist da die stereographische Projektion der platonischen Körper. Durch die Abbilder auf die flache Papierebene lassen sich Rückschlüsse auf grundlegende Eigenschaften ziehen.

Kapitel 3: Die vierte Dimension (Teil 1)

Der schweizer Mathematiker Schläfli beschrieb als erster Geometrien im vierdimensionalen Raum und führt durch dieses Kapitel. Von allen vierdimensionalen Körpern können wir nur ihre dreidimensionalen Schatten betrachten. Die vierte Dimension zu sehen ist nicht möglich, da es in dem uns bekannten Koordinatensystem keine Möglichkeit gibt, eine vierte, zu allen anderen Achsen senkrecht stehende Koordinatenachse einzuzeichnen. Schläfli konstruiert mit uns die vierdimensionalen Platonischen Körper. Gemeinsam betrachten wir ihre dreidimensionalen Schatten und den Schnitt der vierdimensionalen Körper mit dem dreidimensionalen Raum.

Kapitel 4: Die vierte Dimension (Teil 2)

Nach diesen ersten Eindrücken aus der vierdimensionalen Welt betrachten wir nun die stereographischen Projektionen der vierdimensionalen Platonischen Körper in den dreidimensionalen Raum. Wie bei der Projektion der Erdoberfläche auf eine Ebene können wir dadurch bestimmte Eigenschaften der Körper erkennen.

Kapitel 5: Komplexe Zahlen (Teil 1)

In diesem Kapitel führt Adrien Douady die komplexen Zahlen ein. Die Idee der imaginären Zahl i entstand bei der Betrachtung von Multiplikationen auf dem Zahlenstrahl. Multipliziert man eine Zahl mit −1 entspricht dies einer Drehung um 180° auf der Zahlengerade. Multipliziert man nun mit der Wurzel aus −1, erzeugt man eine Drehung um 90° – und verlässt den Zahlenstrahl. Jede reelle Zahl kann so um eine zweite Dimension erweitert werden. Ausführliche Animationen zeigen diese Herleitung und die Darstellung der Ebene durch die komplexen Zahlen.

Kapitel 6: Komplexe Zahlen (Teil 2)

Nachdem die komplexen Zahlen definiert wurden und wir erste Eigenschaften kennen gelernt haben, geht es in diesem Kapitel um Transformationen, also um Abbildungen von den komplexen Zahlen auf sich selbst. Es wird untersucht, welche Eigenschaften verschiedene Abbildungen haben und wie man Drehungen, Streckungen oder Inversionen durch Funktionen darstellen kann. Auch die Beziehung zu Julia-Mengen als unendliche Anwendung bestimmter Funktionen wird erklärt und durch Animationen veranschaulicht.

Kapitel 7: Faserung (Teil 1)

Der deutsch-schweizer Mathematiker Heinz Hopf begleitet uns durch diese Kapitel zum Thema Topologie, der Wissenschaft der Verformungen. Nach einigen einleitenden Beispielen erläutert er die nach ihm benannte Hopf-Faserung. Die dreidimensionale Sphäre S³ enthält alle Punkte aus dem vierdimensionalen Raum, die zum Ursprung den Abstand 1 haben. Es wird gezeigt, dass S³ durch Kreise gefüllt werden kann, die sich untereinander nicht schneiden. Jeder Kreis entspricht dabei einem Punkt auf der Sphäre S². Die animierten stereographische Projektionen helfen auch hier, die Behauptungen nachzuvollziehen.

Kapitel 8: Faserung (Teil 2)

In diesem Kapitel wird ein Torus genauer untersucht. Es wird gezeigt, dass man durch jeden Punkt eines Torus genau vier Kreise ziehen kann. Die vier Familien sind die Meridiane, Parallelen und die zwei sogenannten Villarceau-Kreise. Die Villarceau-Kreise entstehen, wenn man einen Torus mit einer Ebene schneidet, denn die Schnittkanten sind von zwei Kreisen begrenzt. Die Menge aller Kreise einer Familie füllt dabei wieder den Torus vollständig aus.

Kapitel 9: Beweis

Abschließend beweist Bernhard Riemann einen Satz aus dem ersten Kapitel: Bei der stereographischen Projektion der Sphäre S² auf die Ebene werden Kreise auf Kreise abgebildet. In seinem Beweis benutzt er weitestgehend elementare Sätze aus der Geometrie wie den Satz von Thales.

Dieser Spaziergang durch die Mathematik hilft, schrittweise in die vierte Dimension aufzusteigen – genauer gesagt für das, was wir davon sehen können. Dabei wird jedes Kapitel wird von einer anderen Persönlichkeit aus der Mathematik moderiert.

de
Autor
Jos Leys
Étienne Ghys
Aurélien Alvarez
Genre
Animation
Mathematische Themen
Funktionalanalysis
Funktionentheorie
Geometrie
Lineare Algebra
Logik
Topologie
Schlagworte
Wahrscheinlichkeit
Unendlich
Topologie
Projektion
Logik
imaginäre Zahl
Goldener Schnitt
für Fortgeschrittene
Dimension
Beweis
auch für Einsteiger
Algebra
kostenlos
Spieldauer
117 Minuten
Erscheinungsjahr
2007
Sprachen
deutsch
englisch
französisch
spanisch
italienisch
arabisch
russisch
japanisch
Untertitelsprachen
deutsch
englisch
französisch
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portugiesisch
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