The Penrose Tesselation

Dieser Film dreht sich um die Penrose-Parkettierung. Benannt nach dem englischen Mathematiker Roger Penrose füllt diese nicht-periodische Parkettierung die gesamte Ebene lückenlos ohne ein sich wiederholendes Muster aus.

Eine gegebene Fläche mit einem oder zwei verschiedenen Teilen auszufüllen – also zu parkettieren – ist nicht schwer. Beispiele dazu finden sich in unseren Blogbeträgen Parkettierungen der Ebene und Semireguläre Parkettierungen der Ebene. Jeder Gehweg ist mit quadratischen oder rechteckigen Flächen ausgelegt. So könnte man auch die ganze Ebene ausfüllen.

Viel schwieriger hingegen ist es, die Ebene nicht-periodisch zu parkettieren, also so, dass kein Muster entsteht, dass sich wiederholt. Erst 1973 gelang des Penrose und seinem Kollegen Ammann nachzuweisen, dass man mit wenigen Bausteinen (sog. „Kacheln“) die gesamte Ebene lückenlos und aperiodisch füllen kann. Für den ersten Beweis benötigen sie noch vier verschiedene Kacheln. Im Film wird eine aperiodische Parkettierung aus nur zwei verschiedenen Kacheln gezeigt und erläutert.

Wie genau die zwei Kacheln aussehen, wie sie konstruiert werden und welche Eigenschaften dazu führen, dass sie eine nicht-periodische Parkettierung erzeugen (und wie man das beweist), zeigt dieser Film.

Auch wenn Penrose mit diesen Kacheln ein großer Durchbruch gelang, gibt es noch viele offene Fragen zu diesem Thema. Beispielsweise weiß man noch nicht, ob es eine Kachel gibt, die alleine die Ebene aperiodisch ausfüllen kann.

Die zwei Kacheln („Darts“ und „Kites“) können aus dem goldenen Schnitt konstruiert werden und gehören zur Symmetriegruppe cm.

Die beiden Kacheln können aufgrund ihrer besonderen Konstruktionsweise durch mehrere kleine Kopien von sich selbst ausgefüllt werden. Eine Darstellung mit den Darts und Kites kann also durch mehr Darts und Kites ebenfalls gefüllt werden.