Parkettierungen der Ebene

Als Parkettierung oder Pflasterung bezeichnet man in der Mathematik eine vollständige und überlappungsfreie Überdeckung der Ebene mit Vielecken (Polygonen). Parkettierungen findet man überall: bei der gefliesten Küchenwand, auf dem mit Platten ausgelegten Gehweg und auch in der Kunst, zum Beispiel bei Mosaiken. Für die euklidische Ebene, also einer zweidimensionalen Fläche wie dem Boden eines Raumes, werden hier einige Parkettierungen vorgestellt.

Um eine neue Parkettierung zu erhalten, kann man ausgehend von einer vorhandenen, regelmäßigen Parkettierung die Seiten der Flächen verändern. Diese Technik wird oft in der Kunst angewandt. Um die Symmetrien und Regelmäßigkeiten zu erhalten, muss man einige einfache Regeln beachten. Mehr dazu auf unserer Seite zu Parkettierungen.

Man kann verschiedene Arten von Parkettierungen erzeugen. Dabei unterscheidet man nach der Anzahl der benutzen Formen und ihren Eigenschaften, also zum Beispiel ob die benutzten Polygone gleichseitig, regelmäßig oder konvex sind usw.

Regelmäßige, periodische Parkettierungen

Die ersten Parkettierungen, die wir hier betrachten, bestehen aus nur einer Art von Polygon, das in einer bestimmten Reihenfolge wiederholt wird, um eine Fläche auszufüllen:

Platonische oder reguläre Parkettierungen:

Man kann auch solche Parkettierungen untersuchen, die aus Vielecken entstehen, deren Seiten alle die gleiche Länge haben, also aus regelmäßigen Polygonen bestehen:

Das Muster in der Mitte kennt jeder: Schachbretter sind auch Parkettierungen, und zwar mit regelmäßigen Vierecken (Quadraten). Das Muster auf der rechten Seite kommt zum Beispiel in Bienenwaben vor, die aus gleichseitigen Sechsecken bestehen.

Eine Parkettierung mit regelmäßigen Fünfecken ist nicht möglich, ohne dass Lücken entstehen. Das liegt daran, dass im regelmäßigen Fünfeck jede Ecke einen Innenwinkel von 108° hat. Dies ist kein Teiler von 360°. Mehr dazu gibt es hier bei mathematische-basteleien.de.

Archimedische oder semi-reguläre Parkettierungen

Doch Parkettierungen kann man auch aus verschiedenen Arten von Polygonen erzeugen:

Die drei hier gezeigten Parkettierungen haben eine besondere Eigenschaft gemeinsam. Es handelt sich um semireguläre Parkettierungen, von denen es nur 8 verschiedene gibt. Diese Parkettierungen stehen in engem Zusammenhang mit den archimedischen Körpern. Mehr dazu in unserem Blog zu „Semiregulären Parkettierungen“

Bei allen Parkettierungen, die wir bisher vorgestellt haben, handelt es sich um symmetrische, regelmäßige Parkettierungen. Ihr Muster wiederholt sich immer und immer wieder. Das kann man sich auch so vorstellen: Nimmt man zweimal die gleiche Parkettierung, kann man sie auf verschiedene Arten immer so gegeneinander verschieben und drehen, dass sie sich wieder genau überdecken. Deshalb werden sie auch periodische Parkettierungen genannt. Insgesamt gibt es nur 17 Symmetriegruppen, die alle ebenen, periodischen Parkettierungen erzeugen, die sogenannten ebenen kristallografischen Gruppen.

Aperiodische Parkettierungen: Die Penrose-Parkettierung

Parkettierungen, bei denen das nicht möglich ist, heißen aperiodisch. Eine besonders berühmte aperiodische Parkettierung hat Roger Penrose 1973 gefunden. Penrose hat gezeigt, dass es mehrere „Versionen“ mit unterschiedlich vielen Polygonen gibt, um die Ebene lückenlos auszufüllen. Man fasst sie unter dem Begriff Penrose-Parkettierung zusammen.

Hier sehen wir einen Ausschnitt aus einer Penrose-Parkettierung, die aus zwei unterschiedlichen Rauten besteht. Im Gegensatz zu den bisherigen Parkettierungen kann man (in der unendlich fortgesetzten Version) nicht zwei Kopien der gleichen Parkettierung nehmen und so verschieben, dass sie deckungsgleich übereinander liegen.

Parkettierungen in der Kunst:

Ausgehend von den gezeigten Parkettierungen mit Polygonen, also Vielecken, kann man Parkettierungen aus fast beliebigen Formen entwickeln. Bei Einhaltung gewisser Symmetrieregeln kann man jede gezeigte periodische Parkettierung abändern und neue Formen erzeugen:

Um eine neue Parkettierung zu erhalten, kann man die Seiten der Flächen verändern. Dabei muss darauf geachtet werden, dass die Regelmäßigkeit erhalten bleibt. Dies erreicht man, indem die Änderung einer Kante einer Fläche punktsymmetrisch zu ihrem Mittelpunkt erfolgt.

Zum Weiterlesen:

• Unser Blog „Semireguläre Parkettierungen der Ebene“
• Warum man nur mit regelmäßigen Fünfecken keine Parkettierung erhält erklärt Jürgen Köller
• Einfache Muster in Eschers Parkettierungen
• Eine ausführliche Arbeit zu M.C. Escher und seinen künstlerischen Parkettierungen (pdf)