Das Möbiusband

Das Möbiusband ist eine besondere mathematische Fläche. Man kennt das Band aus verschiedenen Kunstwerken, ganz berühmt ist beispielsweise M. C. Eschers Darstellung von Ameisen auf dem scheinbar unendlichen Weg entlang des Bands. Mathematisch gesehen ist diese Fläche besonders, da sie nicht-orientierbar ist. Das heißt, man kann kein Innen und kein Außen unterscheiden.

Nicht-orientierbar

Wie soll das gehen? Wir machen uns das an einem Gegenbeispiel klar. Ein Würfel ist orientierbar – so wie die meisten Objekte, denen wir begegnen. Stellt man sich einen hohlen Würfel mit seinen sechs quadratischen Seitenflächen vor, so kann man ganz genau sagen, wo Innen und wo Außen ist. Insbesondere kann man nicht von Innen nach Außen gelangen, ohne die Würfelflächen zu durchqueren. Das ist nun beim Möbiusband anders.

Beginnt man an einem Punkt auf dem Möbiusband, zum Beispiel in der Mitte und folgt der Fläche, so erreicht man alle Punkte der Fläche, auch die auf der anderen Seite des Startpunktes. Das könnte bei einem Würfel nie passieren. Beginnt man bei einem Würfel mit einem Punkt im Inneren des Würfels, kann man von dort aus nur andere Punkte erreichen, die ebenfalls Innen liegen. Alle anderen Punkte liegen außerhalb des Würfels.

Diese Unterscheidung ist beim Möbiusband und allen anderen nicht-orientierbaren Flächen nicht möglich. Ein Möbiusband herzustellen ist dagegen ganz einfach.

Möbiusband selbst herstellen

Man kann ein Möbiusband einfach selbst zusammenkleben. Dazu benötigt man einfach einen langen Streifen Papier. Dieser sollte auf jeden Fall viel länger als breit sein. Von einem A4-Blatt kann man beispielsweise entlang der längeren Seite einen Streifen von bis zu 3 cm Breite abschneiden.

Hat man einen Papierstreifen, muss man nun die beiden Enden zusammenkleben. Damit ein Möbiusband daraus wird, muss man den Streifen aber eine halbe Umdrehung um sich selbst drehen.

Detailanleitung: Legen Sie einen Streifen Papier flach vor sich auf einen Tisch. Drehen Sie ein Ende des Streifens um, sodass dort nun die Rückseite oben liegt (Bild 1). Führen Sie die beiden Enden auf der Tischplatte aufeinander zu (Bild 2), bis diese aufeinander zeigen (Bild 3). Dann die beiden Enden einfach zusammenkleben (Bild 4) und schon hat man sein Möbiusband.

Wir sind sehr dankbar, dass wir vom Max-Planck-Institut für Mathematik in den Naturwissenschaften in Leipzig einige Möbiusbänder erhalten haben. Diese sind nicht nur schon zugeschnitten, sie haben auch eine intrigierte Klebefläche und eine Perforation, sodass man ganz einfach kleine Experimente mit dem Möbiusband durchführen kann.

Ein Möbiusband teilen

Was passiert beispielsweise mit einem Möbiusband, wenn man es der Länge nach zerschneidet? Bekommt man etwa zwei Möbiusbänder? Mitnichten – aber was entsteht? Sich das zu überlegen ist gar nicht so einfach. Umso besser, dass man es einfach ausprobieren kann.

Und was passiert nun? Zerfällt die Konstruktion in zwei Möbiusbänder? Oder in zwei Ringe? Nicht ganz:

Teilt man ein Möbiusband entlang der Mittellinie, so erhält man ein doppelt so langes Band, das eine ganze Umdrehung in sich hat!

Auf seiner Webseite bei der Uni Bielefeld hat Claus Michael Ringel eine tolle Schema-Zeichnung des entstehenden Körpers erstellt. Hier erkennt man die Struktur der entstehenden Fläche sehr gut:

Übrigens: Vor dem Schneiden kann man auf sein Möbiusband auch noch eine Linie in die Mitte des Streifens zeichnen. Wie oft muss man absetzen, um überall die Schnittmarke gezeichnet zu haben?

Mathematisches

Das Möbiusband ist eine abgeschlossene Menge von Punkten und besitzt einen Rand. Die Randpunkte unterscheiden sich von den anderen Punkten des Bands, da sie keine Umgebung haben, die ebenfalls zum Möbiusband gehört.

Das Besondere: Es hat nur eine Kante. Man kann den gesamten Rand abfahren, ohne zwischendurch abzusetzen. Topologisch gesehen ist der Rand also ein Kreis.

Dazu auch ein schönes Video von einer Vorlesung von N.J. Wildberger. Gerade in den ersten fünf Minuten demonstriert er die besonderen Eigenschaften. Im zweiten Teil des Videos geht er auf den Begriff der Orientierbarkeit ein.

Obwohl die Herstellung eines Möbiusbands nicht besonders schwer ist, die genaue Berechnung der Struktur ist sehr herausfordernd. Je nach Länge und Breite des Streifens, insbesondere abhängig vom Verhältnis von Länge zu Breite, dreht sich das Band an ganz bestimmten Stellen um sich selbst.

Anwendung

Und wozu braucht man nun ein Möbiusband? Das Prinzip vom Möbiusband wird zum Beispiel oft bei Antriebsriemen genutzt. Diese werden verdreht montiert, sodass nicht nur eine Seite abgenutzt wird. Das erhöht die Haltbarkeit der Riemen enorm.

Mathematiker finden solche besonderen Strukturen sowieso interessant. An solchen noch einfachen Beispielen kann man schon Untersuchungen vornehmen, die man auf komplexere Strukturen dann übertragen kann, beispielsweise die Klein'sche Flasche.

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