Im vorherigen Kapitel vom Mathe-Film „Dimensions“ haben wir zum ersten Mal Polyeder in der vierten Dimension kennen gelernt. Nun wollen wir Projektionen dieser Polyeder untersuchen. Stereographische Projektion und andere Projektionsarten haben wir in den ersten beiden Kapiteln erfahren.
Wir beginnen mit der Sphäre im vierdimensionalen Raum. Für die S2-Sphäre im dreidimensionalen Raum benötigen wir zwei Punkte, um sie zu beschreiben. Für das Analogon S3 für den 4D-Raum benötigt man nun drei Punkte.
So wie die Reptilien in Kapitel 2 die 3D-Polyeder in ihrer zweidimensionalen Welt betrachtet haben, wollen wir nun 4D-Polyeder in unserer dreidimensionalen Welt betrachten.
Dazu nutzen wir die Sphäre S3, das Analogon zur Sphäre S2 in 3D. Alle Punkte der S3 werden mit drei Koordinaten beschrieben. Nun werden die 4D-Polyeder „aufgeblasen“, bis ihre Seiten auf der Sphäre S3 liegen und diese Konstruktion wird dann stereographisch in den 3D-Raum projiziert. (Stereographische Projektion wurde in Kapitel 1 thematisiert.)
Diese Art der Darstellung wird für alle Körper aus dem Kapitel 3 vorgenommen. Aufgrund der komplexen Projektion und der ungewöhnlichen Darstellung werden die Körper in verschiedenen Versionen hier ausführlich betrachtet und gedreht.
Drei 4D-Polyeder in ihrer 3D-Darstellung durch stereographische Projektion (Kanten und Ecken)
Stereographische Projektionen sind in diesem Zusammenhang etwas einfacher zu verstehen, als eine Schattenprojektion oder Schnitte, wie sie ebenfalls in den vorherigen Kapiteln vorgestellt wurden.
Vor allem die Bewegung der Körper, die im Video kontinuierlich gedreht werden, veranschaulicht die symmetrischen Strukturen der 4D-Polyeder in der stereographischen Projektion.
Nun fügen wir den Körpern auch Flächen hinzu, die in der Projektion mit sichtbar werden. Durch das „Aufblähen“ werden diese nun gekrümmt, sind Teile der Sphäre.
Simplex mit 10 dreieckigen Seiten -> werden zu Teilen der Sphäre Hyperwürfel 24 quadratische Seiten. 24-Zell: 24 Ecken, 96 Kanten, 96 Dreiecke, 24 Oktaeder (8 Kanten aus jedem Eckpunkt) 120-Zell: 4 Kanten aus jeder Ecke, 720 Fünfecke, 120 Dodekaeder, 600-Zell: 600 Tetraeder, 1.200 Dreiecke, 720 Kanten, 120 Ecken
Der 120-Zell, auch Hyperdodekaeder genannt: Faszinierende Blicke auf und in die Projektion
Das komplette Kapitel 4 als Video
