Film „Dimensions“: Kapitel 2

Mathe-Film „Dimensons“: Das zweite Kapitel führt uns in Begleitung von M. C. Escher in die dritte Dimension. Vor allem der Übergang von 2D zu 3D soll hier genau untersucht werden. Dieses Wissen wollen wir später nutzen, um auch die vierte Dimension zu verstehen.

(Zum ersten Kapitel.)

Dimensions Kapitel 2: Dimension 3

Das zweite Kapitel von Dimensions auf deutsch (ca. 14 Min.):

Eschers Zeichnungen beinhaltet oft verschiedene Perspektiven, Dimensionen und Metamorphosen. Eines seiner berühmten Werke zeigt eine Gruppe von Echsen, die aus ihrer zweidimensionalen Welt ausbrechen, um dreidimensionale Form anzunehmen.

Stellen wir uns vor, eine dreidimensionale Echse versucht ihren zweidimensionalen Gefährten zu erklären, was die dritten Dimension ist. Wie macht man sowas? Diese Situation wird im zweiten Kapitel ausführlich durchleuchtet. Was kann man von dreidimensionalen Körpern in der zweidimensionalen Ebene wahrnehmen?

Die erste Idee hier ist es, die 3D-Körper durch die 2D-Ebene „tauchen“ zu lassen. Dadurch entstehen verschiedene Schnitte der Körper. Diese flachen Projektionen in der zweidimensionalen Ebene sind die Eindrücke, die auch unsere zweidimensionalen Echsen wahrnehmen können.

Anhand dieser Schnitte kann man einige Eigenschaften der dreidimensionalen Körper ableiten. Trotzdem ist es oft recht schwer, den eigentlichen Körper zu rekonstruieren. Versuchen Sie es selbst, in diesem Kapitel gibt es einige Beispiele, an denen Sie sich testen können.

Die zweite Idee, die hier untersucht wird, greift den Ansatz aus Kapitel 1 wieder auf: Die stereographische Projektion. Als Ausgangspunkt dafür benötigen wir eine Kugel, daher werden unsere Körper einfach etwas „aufgebläht“. Dann können wir mit der Projektion beginnen und erhalten ebenfalls eine zweidimensionale Repräsentation unseres dreidimensionalen Körpers.

Dreht man den Körper nun um sich selbst, verändert sich auch seine Projektion. Anhand unserer Erfahrungen mir Meridianen und Parallelen können wir Rückschlüsse auf die Projektionen dieser Körper ziehen. Als Beispiele wurden hier übrigens die regulären platonischen Körper genutzt.

Im nächsten Kapitel werden wir dann Körper der vierten Dimension kennen lernen.