Ludwig Schläfli


Heute vor 199 Jahren wurde der schweizer Mathematiker Ludwig Schläfli im damaligen Grasswil geboren. Statt in die Fußstapfen seines Vaters zu treten und Geschäftsmann zu werden, bekam er die Möglichkeit, seine Begabung für Mathematik zu verfolgen.

In den kommenden Jahrzehnten arbeitet Ludwig Schläfli zur Geometrie und Funktionentheorie, also der komplexen Analysis. Er trug wesentlich zur Entwicklung des Dimensions-Begriffes bei und entwickelte die Theorie der mehrdimensionalen Polytope.

Inhalt:

Kindheit und Jugend

Schläfli verbrachte seine Kindheit bei seinen Eltern Johann Ludwig Schläfli und Magdalena Aebi in Burgdorf. Seine Begabung wurde früh entdeckt und so konnte er bereits mit 15 Jahren als Stipendiat das Gymnasium von Bern besuchen. Schon dort setzte er sich mit der Differentialrechnung auseinander.

1831, mit 17 Jahren, begann Schläfli sein Studium der Theologie an der Universität Bern. 1836 erlangte Ludwig Schläfli seinen Abschluss in Theologie. Er wollte jedoch keinen kirchlichen Werdegang einschlagen, sondern wurde zunächst Lehrer für Mathematik und Naturwissenschaften an der Bürgerschule in Thun.

Während seiner zehnjährigen Lehrtätigkeit an der Schule bildete sich Schläfli stetig weiter. Er besuchte Mathematik-Kurse an der Universität und erlernte mehrere Sprachen, zum Beispiel Französisch und Italienisch. Diese Kenntnisse sollten ihm später von großem Nutzen sein.

Der Wendepunkt: Schläfli trifft Steiner

1843 lernte Schläfli eher zufällig den schon damals sehr bedeutenden schweizer Mathematiker Jakob Steiner kennen. Steiner war nicht nur von Schläflis Kenntnissen der Mathematik beeindruckt, sondern auch von seinem Sprachtalent. Steiner veranlasste, dass Ludwig Schläfli die Mathematiker Steiner, Jacobi und Dirichlet auf ihrer Reise nach Italien als Übersetzer begleitete.

Diese sechsmonatige Reise war sehr bereichernd für Schläfli. Neben dem regen Austausch von Ideen und Theorien erhielt Schläfli tägliche Lehrstunden zur Zahlentheorie von Dirichlet. Auch nach der Reise hielt der Kontakt zwischen Schläfli und Steiner an, bis 1856 schrieben sich die beiden Mathematiker regelmäßig.

Schläfli kehrte zunächst nach Thun zurück. 1848 begann er, als Privatdozent an der Universität von Bern zu unterrichten. 1853 wurde er zum außerordentlichen Professor ernannt. Zum ersten Mal in seinem Leben hatte Ludwig Schläfli nun einen Verdienst, der mehr als ausreichend für sein Leben war - mit 34 Jahren.

Schläflis mathematischen Arbeiten

Ludwig Schläfli arbeitete nun hauptsächlich zur mehrdimensionalen Geometrie. Neben Bernhard Riemann und Arthur Cayley gilt Schläfli als einer der drei Begründer dieser Disziplin. Sein Hauptwerk „Theorie der vielfachen Kontinuität“ verfasste er zwischen 1850 und 1852. Dort beschreibt Schläfli auch Polytope, also Körper in drei oder mehr Dimensionen, die er damals noch „Polyschemas“ nennt.

So verallgemeinerte er Polygone (zweidimensionale Vielecke, also Flächen wie Quadrat oder Hexagon) und Polyeder (dreidimensionale Körper wie Würfel oder Oktaeder). Schläfli beschrieb schon reguläre Polytope in höheren Dimensionen und fand heraus, dass es im vierdimensionalen Raum sechs solcher Körper und in allen höheren Dimensionen nur drei davon gibt.

Schläfli starb am 20. März mit 81 Jahren in Bern. Dort gibt es auch heute noch eine Schläflistrasse.

Das Schläfli-Symbol

Das nach Ludwig Schläfli benannte Schläfli-Symbol wird benutzt, um reguläre Polytope zu beschreiben. {p, q} steht für ein reguläres Polygon mit p-vielen Ecken und q für die Anzahl der Polygone, die an einer Ecke zusammentreffen.

Mit {3, 6} wird beispielsweise die Parkettierung der Ebene mit regelmäßigen Dreiecken beschrieben. Davon treffen an jeder Ecke sechs zusammen, sodass sich eine geschlossene Überdeckung der Fläche ergibt. Mehr dazu auch auf unserer Info-Seite „Parkettierungen“.

Eine Parkettierung der Ebene mit regelmäßigen Dreiecken. Schläfli-Symbol: {3,6} Das inverse Schläfli-Symbol {6, 3} ergibt ebenfalls eine Parkettierung. Diesmal mit regelmäßigen Sechsecken, drei an einer Ecke. Eine weitere Parkettierung mit Schläfli-Symbol {4, 4}. Je vier Quadrate treffen an jeder Ecke zusammen.
Reguläre Parkettierungen können mit dem Schläfli-Symbol beschrieben werden

Ein Tetraeder wird durch das Schläfli-Symbol {3, 3} beschrieben, da an jeder Ecke drei Dreiecke zusammentreffen. Der Würfel hat daher das Schläfli-Symbol {4, 3}. Der Dualkörper eines Körpers wird durch die Vertauschung von p und q angegeben. Der Oktaeder ist dual zum Würfel und wird daher vom Schläfli-Symbol {3, 4} beschrieben.

Auf diese Art kann man nun auch mehrdimensionale Körper beschreiben. So bezeichnet man mit dem Schläfli-Symbol {3, 3, 3} einen vierdimensionalen Körper, der aus 5 Tetraedern besteht, das sogenannte Pentachoron oder auch 4-Simplex. Auch wenn man sich diesen Körper schwer vorstellen kann (er ist schließlich vierdimensional), zeigt das Schläfli-Symbol seine Regelmäßigkeit: Er besteht aus Tetraeder-Zellen, beschrieben durch {3, 3}. An jeder Ecke des Pentachorons treffen drei Tetraeder aufeinander, daher {3, 3, 3}.

Mehr dazu auf vismath

  • Mehr zu Parkettierungen finden Sie auf unserer Info-Seite „Parkettierungen“
  • Der 120-Zell, ein vierdimensionaler Körper mit Schläfli-Symbol {5,3,3} entsteht aus 120 Dodekaedern. Wie das funktioniert, zeigt der Film „Konstruktion eines Hyperdodekaeders“
  • Diese Körper können Sie auch selbst konstruieren. Mit dem Zometool-Bausatz „Hyperdo“>


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