Die Wahrscheinlichkeitstheorie oder Wahrscheinlichkeitsrechnung ist ein Teilgebiet der Mathematik. Gemeinsam mit der mathematischen Statistik bildet sie das Teilgebiet der Stochastik. Die Wahrscheinlichkeitstheorie handelt von der Beschreibung zufälliger Ereignisse und ihrer Modellierung.
Wichtige Definitionen
Dazu werden sogenannte Zufallsexperimente untersucht. Ausgehend von möglichen Ereignissen werden mit diesen Zufallsexperimenten einzelne Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse definiert. Oft sind nicht bestimmte einzelne Ereignisse, sondern Mengen von Ereignissen interessant.
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung
Basierend darauf können verschiedene Funktionen definiert werden, beispielsweise die Wahrscheinlichkeitsverteilung. Man unterscheidet zwischen endlichen oder diskreten Verteilungen wie der Gleichverteilung (Münzwurf, Würfeln,...) und kontinuierlichen Verteilungen. Beispiele dafür sind die Exponentialverteilung, die unter anderem den radioaktiven Zerfall über die Zeit beschreibt, oder die Normalverteilung mit dem Spezialfall der Gauß-Verteilung.
Verschiedene Wahrscheinlichkeitsverteilungen: eine diskrete Verteilung (links), bei der nur endlich viele Ereignisse eintreffen können (nämlich 1, 3 oder 7). Dann eine exponentielle Verteilung (mittig) und verschiedene Normalverteilungen (rechts)
Die Wahrscheinlichkeitstheorie ist wie viele andere Teilgebiete der Mathematik axiomatisch auf der Mengenlehre aufgebaut. Diese drei Axiome wurden erstmals um 1930 vom russischen Mathematiker Andrei Kolmogorov aufgestellt.
Sie besagen, dass jedes Ereignis immer eine Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1 annimmt. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein beliebiges der Ereignisse eintritt, ist gleich 1. Außerdem gilt die sogenannte Sigma-Additivität für disjunkte Ereignisse.
Laplace-Experimente
Im Schulunterricht werden häufig sogenannte Laplace-Experimente untersucht. Diese spezielle Art von Zufallsexperimenten hat nur endlich viele Ergebnisse, die alle mit der gleichen Wahrscheinlichkeit eintreffen. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung solcher Ereignisse ist also immer eine diskrete Gleichverteilung.
Bekannte Beispiele für Laplace-Experimente ist der Münzwurf mit zwei möglichen, gleichwahrscheinlichen Ereignissen, nämlich „Kopf“ und „Zahl“. Ebenso das Würfeln mit sechs möglichen Ereignissen oder das Ziehen einer Karte aus einem Kartenspiel. Ausgehend davon können dann bedingte Wahrscheinlichkeiten, Verbundwahrscheinlichkeiten oder die Abhängigkeit von Ereignissen untersucht werden.
Wahrscheinlichkeitstheorie bei vismath
Film: 21
Während einer Vorlesung am MIT erläutert der begabte Mathematikstudent Ben seinem Mathematikprofessor Micky Rosa die beste Strategie für das sogenannte Ziegenproblem. Damit macht er diesen unbeabsichtigt auf sich und sein Talent aufmerksam, denn Rosa leitet ein Team von jungen Mathematikern, das in Las Vegas beim Black Jack durch Kartenzählen die Casinos regelrecht ausnimmt.
Film: N is a Number
Ein Mann ohne Heimat und ohne Festanstellung: Paul Erdős war einer der produktivsten Mathematiker, der je gelebt hat. Mehr als 1.300 veröffentlichte Paper tragen seinen Namen. Ein rastloses Genie, der sein Leben damit verbrachte, von der Natur gegebene Rätsel zu lösen. In „N is a Number“ wird Paul Erdős portraitiert.
Film: Numbers
Wir wenden jeden Tag Mathematik an. Manchmal bewusst, manchmal unbewusst. Und auch wenn uns Ereignisse zufällig erscheinen mögen – meist verbirgt sich gerade hinter Verbrechen ein mathematisches Muster. Die amerikanische Erfolgsserie Numbers (auch NUMB3RS) erzählt von zwei ungleichen Brüdern: dem FBI-Agenten Don und dem mathematisch hochbegabten Charlie. Sie nutzen die Mathematik, um gemeinsam Kriminalfälle zu untersuchen und aufzuklären.