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Thema: Domain Coloring

Domain Coloring (zu Deutsch etwa „Gebietseinfärbung“) ist eine Technik zum Visualisieren einer komplexwertigen Funktion. Dabei wählt man ein geeignetes Farbschema, das auf der ganzen komplexen Ebene definiert ist und wertet die Funktion auf einem vorgegebenen Teilbereich – der Domain – aus.

Was das nun bedeuten soll und warum man mit einem „normalen“ Funktionsgraphen nicht auskommt, wollen wir hier erläutern.

Beispiel dafür, wie ein (komplizierteres) Domain Coloring aussehen könnte

Wozu Domain Coloring?

Domain Coloring wird genutzt, um komplexwertige Funktionen, also von ( \C ) nach ( \C ), darzustellen. Für reelle Funktionen von ( \R ) nach ( \R ), beispielsweise f(x) = x+2 oder f(x) = x² reicht ein kartesisches Koordinatensystem mit zwei Achsen aus. Dort kann man den Funktionsgraphen einzeichnen, indem man jedem Punkt x auf der x-Achse einen Punkt f(x) auf der y-Achse zuordnet. Es ergibt sich – ganz grob gesagt – eine irgendwie geformte Linie, der Funktionsgraph.

Für komplexe Funktionen reicht dieser Darstellung nicht mehr aus. Wie stelle ich die komplexe Zahl 3 + 4i auf der x-Achse dar? Wo liegt die Zahl 4 + i im Bezug darauf? Jede komplexe Zahl besteht schon aus zwei reellen Zahlen. Man stellt eine komplexe Zahl z auch dar durch z = a + bi, wobei a und b reelle Zahlen sind und i die imaginäre Zahl (Wurzel aus -1).

Bildet man nun eine komplexe Zahl z auf ihren Funktionswert f(z) ab, so erhält man wieder eine komplexe Zahl. f(z) hat also ebenfalls zwei reelle Komponenten, wir können f(z) schreiben als f(z) = z' = a' + b'i.

Bei komplexwertigen Funktionen von ( \C ) nach ( \C ) muss man also ein Paar von reellen Zahlen, nämlich a und b, die z darstellen, auf ein anderes Paar von reellen Zahlen, und zwar a' und b', die z' darstellen, abbilden. Insgesamt gilt es also, vier reelle Zahlen in einer Abbildung darzustellen. Und hier kommen die Farben ins Spiel.

So funktioniert Domain Coloring

Um diese vier Koordinaten darzustellen, benutzt man nun Farben und ihre Sättigung bzw. Intensität als Größen, um die komplexen Zahlen zu beschreiben. Die Zahlen z, für den man die Funktionswerte f(z) berechnet, bilden dabei die sogenannte Domain. Diese Zahlen werden in einem „normalen“ Koordinatensystem dargestellt, z = a + bi durch den Realteil a auf der x-Achse und den Imaginärteil b auf der y-Achse.

Nun legt man über dieses Koordinatensystem das Domain Coloring. An jeder Stelle ordnet die Funktion f(z) dem darunter liegenden z einen Funktionswert zu. Dieser Funktionswert wird durch eine Farbe in einer bestimmten Intensität dargestellt. So schafft man es, vier Koordinaten in einer zweidimensionalen Ebene darzustellen. Einmal durch den Ort im Koordinatensystem, der den Wert von z darstellt, und die Farbe an diesem Ort, die den Funktionswert beschreibt.

Los gehts: Unsere Ausgangslage

Wir legen ganz einfach los und schauen uns erstmal die Grundlage unserer Domain Colorings an. Ausgehend von diesem Farbschema wählen wir später für alle Funktionswerte f(z), die wir berechnen, die Farbe für den jeweiligen Punkt.

Die Grundlage für unsere Domain Colorings. Links: Farbschema. Rechts: Mit Hilfslinien für Winkel (weiß) und Radius (schwarz). (Bilder via AG Geometrieverarbeitung, FU Berlin)

Gewissermaßen entspricht dieses Farbschema der Identitätsabbildung. Wenn man die Funktion f(z) = z auswertet, erhält man wieder dieses Schema.

Zur Verdeutlichung der Funktionen, die wir später betrachten, sind im rechten Bild zwei Arten von „Hilfslinien“ zu sehen. Die weißen Linien teilen die Fläche in regelmäßige Winkel auf und die schwarzen Linien bilden konzentrische Kreise, die jeweils einen bestimmten Betrag darstellen. Alle Punkte entlang einer weißen Linie haben also den gleichen Winkel, alle Punkte auf einem schwarzen Kreis den gleichen Betrag, hier dargestellt durch den Radius.

Anhand dieser Hilfslinien können wir später die Eigenschaften unserer Funktion besser bestimmen, zum Beispiel, ob sie die Winkel beibehält oder wie sich der Betrag der Punkte verändert.

Für Fortgeschrittene: Wir haben die komplexe Zahl z bisher dargestellt durch z = a + bi mit a und b reellen Zahlen. Man kann jede komplexe Zahl auch in ihrer Polarform darstellen. Dann hat z die Form ( z = r (\cos \varphi + i \sin \varphi) = r e^{i\varphi} ). Alle Darstellungen von z sind hier äquivalent, wenn man phi auf das Intervall (-pi,pi] einschränkt. Dann gilt ( a = r \cos \varphi, b = r \sin \varphi ).

Für das Domain Coloring kann die Polardarstellung ausgenutzt werden: r ist der Radius, als der Abstand des Punktes z vom Ursprung und phi gibt den Winkel zur x-Achse an. Das heißt auch, dass der Winkel den Farbton angibt und der Radius die Intensität. Mit größerem Abstand zum Ursprung nimmt die Intensität der Färbung ab.

Beispiele

Egal, wie weit Sie jetzt unseren Erläuterungen zum Domain Coloring folgen konnten, nun wollen wir einige Beispiele betrachten und analysieren:

Wir wollen versuchen, dieses Domain Coloring zu interpretieren. Dazu vergleichen wir das Ausgangsschema der Farben, mit dem wir begonnen haben, mit den Farben auf unserem Domain Coloring der Funktion f1.

Es fällt auf, dass einige wenige Farben das Bild dominieren. Nur in der Bildmitte finden wir Blautöne und Magentafarben. Am Rand ist das Bild meist orange gefärbt (bis auf die linke obere Ecke). Diese Farbtöne – wir gehen wieder zurück zu unserem Ursprungsbild – entsprechen der rechten Hälfte unserer Ausgangssituation (die x-Achse zeigt den Realteil an). Die Realteile dominieren die Imaginärteile, die entlang der y-Achse aufgetragen sind und als Grüntöne erscheinen würden.

Unsere Funktion f1 hat zwei Nullstellen, die durch die schwarzen Bereiche gekennzeichnet sind. In unserer Ursprungsdarstellung gab es einen schwarzen Bereich genau im Ursprung des Koordinatensystems. Nun gibt es zwei solcher Nullstellen, und zwar bei -1 und bei +1 auf der reellen Achse. Je kleiner der Betrag einer komplexen Zahl ist, desto dunkler wird er dargestellt.

Und drei weitere Beispiele:

Beispiele Domain Coloring, mittig: auch Joukowski-Funktion genannt. (Bilder via AG Geometrieverarbeitung, FU Berlin)

Profis können auch an diesen Domain Colorings Eigenschaften unserer Funktion f(z) ablesen. Wir wollen uns an dieser Stelle damit begnügen, die Bilder auf uns wirken zu lassen.

Domain Colorings bei vismath

Weitere Domain Coloring-Bilder, die Sie bei vismath als Poster erhalten

Andere Domain Colorings

Wir wollen hier weitere Domain Coloring-Bilder zeigen. Grundlage für diese drei Bilder ist ein anderes Farbschema als bisher, nämlich das Bild ganz links. Das Prinzip der komplexen Abbildung bleibt aber gleich.

Neue Domain Colorings: Ausgangslage (links), Logarithmus, f(z) = log(z) (mittig) und Wurzelfunktion ( f(z) = \sqrt{z} ) (rechts). (Bilder via Mathematica stackexchange, Autor S. Woods).

Zum Weiterlesen

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Funktionentheorie
Domain Coloring
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