Spezielle Kurven mit Brennpunkten


Kreis, Ellipse, Leminskate und Co.

In unserem Blogbeitrag zur Ellipse haben wir schon grundlegende Eigenschaften dieser Kurve erläutert. Heute wollen wir weitere Kurven, die wie die Ellipse durch ihre Brennpunkte F1 und F2 definiert werden können, kennen lernen.

Wir erinnern uns, dass die Ellipse wie Kreis, Hyperbel und Parabel, ein Kegelschnitt ist

Ellipse Kegelschnitt
Kegelschnitte

Ellipsen können jetzt über ihre zwei Brennpunkte F1 und F2 definieret werden:

Eine Ellipse besteht aus allen Punkten, die eine konstante Abstandssumme d1+d2 zu diesen zwei Brennpunkten haben.

Ellipse
Ellipse

Den Kreis kann man hier als Spezialfall der Ellipse verstehen, bei dem die beiden Brennpunkte F1 und F2 in einem Punkt zusammenfallen. Die Parabel ist ebenfalls eine spezielle Ellipse, wenn man sich vorstellt, dass einer der Brennpunkte unendlich weit weg ist.

Parabel
Parabel

Auch alle anderen Kegelschnitte können so beschrieben werden. Für die Hyperbel beispielsweise gilt:

Eine Hyperbel besteht aus allen Punkten, die eine konstante absolute Differenz |d1-d2| zu diesen zwei Brennpunkten haben.

Hyperbel
Eine Hyperbel mit ihren Brennpunkten

Die Cassinischen Kurven sind eine weitere Klasse von Kurven, die sich durch zwei Brennpunkte beschreiben lässt. Sie sind keine Kegelschnitte, begegnen uns aber trotzdem täglich:

Ein Cassinische Kurve besteht aus allen Punkten, die ein konstantes Abstandsprodukt d1*d2 zu diesen zwei Brennpunkten haben.

Je nachdem, wie groß dieser konstante Abstand ist, ergeben sich verschiedene Kurvenformen:

Cassinische Kurven
Cassinische Kurven für verschiedene Konstanten

Übrigens: Eine besondere Cassinische Kurve ist die sogenannte Leminskate. Diese schleifenförmige Kurve (hier blau) ist das Zeichen, das wir heute für Unendlich benutzen:

Leminskate
Für das Unendlich-Zeichen wir die sogenannte Leminskate verwendet


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