Semireguläre Parkettierungen der Ebene


In unserem Blog zu den Parkettierungen der Ebene haben wir bereits gezeigt, welche ebenen Parkettierungen mit regelmäßigen Polygonen möglich sind. Neben der Überdeckung der Ebene nur mit regelmäßigen Drei-, Vier- und Sechsecken gibt es auch Parkettierungen, die aus verschiedenen Vielecken bestehen. Einige besondere davon, die semiregulären oder auch archimedischen Parkettierungen, stellen wir jetzt vor.

Um eine neue Parkettierung zu erhalten, kann man ausgehend von einer vorhandenen, regelmäßigen Parkettierung die Seiten der Flächen verändern. Diese Technik wird oft in der Kunst angewandt. Um die Symmetrien und Regelmäßigkeiten zu erhalten, muss man einige einfache Regeln beachten. Mehr dazu auf unserer Seite zu Parkettierungen.

Semireguläre Parkettierungen bestehen aus mehreren Arten von regelmäßigen Polygonen – also Vielecken mit gleicher Kantenlänge. Unter der Bedingung, dass an jeder Ecke die gleiche Anzahl von Polygonen in der gleichen Reihenfolge zusammentreffen muss, kann man genau acht solcher Parkettierungen erzeugen:

Semireguläre Parkettierungen der Ebene: 8-4-8 Semireguläre Parkettierungen der Ebene: 4-3-3-3-4 Semireguläre Parkettierungen der Ebene: 4-3-4-3-3
Die einzig mögliche Parkettierung mit Achtecken (und Quadraten); die zwei möglichen Parkettierungen mit Dreiecken und Quadraten.

Wie bei den archimedischen Körpern ist eine archimedische oder semireguläre Parkettierung durch die Anzahl und Reihenfolge der Vielecke bestimmt, die an einer Ecke aufeinander treffen.

Semireguläre Parkettierungen der Ebene: 3-6-3-6 Semireguläre Parkettierungen der Ebene: 6-4-3-4 Semireguläre Parkettierungen der Ebene: 6-3-3-3-3
Die drei möglichen Parkettierungen mit Sechsecken und Dreiecken (außen) oder mit Drei- und Vierecken (mittig)

Neben den regulären Parkettierungen, die nur aus einem regelmäßigen Polygon bestehen, sind diese semiregulären Parkettierungen die einzigen Überdeckungen, die die Ebene vollständig ausfüllen und bei denen an jeder Ecke die gleiche Anzahl von Polygonen in der gleichen Reihenfolge aufeinander treffen.

Semireguläre Parkettierungen der Ebene: 6-4-12 Semireguläre Parkettierungen der Ebene: 3-12-12
Die zwei möglichen Parkettierungen mit Zwölfecken: links mit Vier- und Sechsecken, rechts mit Dreiecken

Erstaunlich aber wahr: Diese acht Muster sind tatsächlich die einzigen semiregulären Parkettierungen! Um dies einzusehen, kann man sich als ersten Schritt überlegen, dass die Winkel aller an einer Ecke zusammentreffenden Polygone in Summe 360° ergeben müssen. Dazu kommt, dass die regelmäßigen Polygone nur wenige, bekannte Innenwinkel haben. So kann man alle möglichen Kombinationen von Vielecken an einer Ecke berechnen. Allerdings führen nicht alle dieser Kombinationen auch auf gültige Parkettierungen, da sie die Ebene nicht vollständig überdecken.

Alle Bilder sind von R.A. Nonenmacher und stehen unter CC-BY-Lizenz.

Zum Weiterlesen:

  • Mathematische Konstrukton und Erläuterung von spiegelverkehrten Parkettierungen von Wissenschaftler Steven Dutch
  • eine künstlerische Betrachtungsweise der Konstruktion dieser und weiterer Parkettierungen vom Gymnasium Salzgitter
  • Weitere mathematische Erläuterungen auf Schulniveau von nibis

Archimedische Körper;Geometrie;Parkettierung;

Erstellt: 2011-09-05



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