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Beweis der Kepler Vermutung erfolgt


Mehr als 400 Jahre nachdem die sogenannte „Keplersche Vermutung“ aufgestellt wurde, liegt nun offenbar ein vollständiger, formaler Beweis vor. Die Mathematik hat dabei wiedereinmal besondere Wege beschritten. Kepler selbst stellte seine Vermutung 1611 auf, konnte sie aber nie beweisen. Thomas Hales hat bereits 1998 eine erste Lösung vorgestellt, die allerdings „nur“ auf massiven Computerberechnungen basierte.

2003 begann Hales damit, seinen Beweis zu Formalisieren – und scheint dieses „Flyspeck“ getaufte Projekt nun erfolgreich zum Abschluss gebracht zu haben. Wir wollen hier kurz auf die Keplersche Vermutung und den Prozess der Beweisfindung eingehen.

Die Keplersche Vermutung

Wie so oft in der Mathematik ist das Problem einfach formuliert. Was ist die beste Art, Kugeln aufeinander zu stapeln? Mathematisch gesprochen geht es darum, eine dichteste Kugelpackung („die beste Art“) von gleich großen Kugeln zu finden. (Siehe dazu auch aus der Wikipedia: Keplersche Vermutung.)

Kepler erwähnte diese Fragestellung in einem Briefwechsel im Jahr 1611. 1831 – also bereits 200 Jahre später – veröffentlichte Carl Friedrich Gauß eine Teillösung des Problems. Zur Jahrtausendwende 1900 nahm David Hilbert das Problem zu seinen sogenannte „Millennium-Problemen“ auf.

Keplersche Vermutung
Eine Aufzeichnung des Problems von Kepler, 1611

Mitte des 20. Jahrhunderts wurden weitere Beweisschritte unternommen. 1998 veröffentlichte der amerikanische Mathematiker Thomas Hales einen Beweis der Vermutung, den er zum großen Teil mittels komplexer Computerberechnungen und per Fallunterscheidung durchgeführt hat.

Kepler Vermutung
Verschiedene Vermutungen, wie man Kugeln am besten stapeln kann

Aus der Wikipedia: „Dem Ansatz von Fejes Tóth folgend, ermittelte Thomas Hales, [...] dass die maximale Dichte aller Kugelanordnungen durch die Minimierung einer Funktion mit 150 Variablen gefunden werden kann.“

Der Beweis

Kepler Vermutung
Die Pyramide, von der Hales nun beweisen konnte, dass sie die optimale Anordnung von Kugeln im dreidimensionalen Raum ist

2003 veröffentlichte Hales eine neue Version seines Beweises, der nun noch 100 Seiten umfasste. Dies deckte allerdings nur die nicht vom Computer berechneten Beweisteile ab. Im gleichen Jahr startete er das Projekt „Flyspeck“, um die Computerberechnungen mit Hilfe vieler Freiwilliger formal korrekt nachzuvollziehen. Er schätzte, dass die Darstellung des kompletten Beweises von da an noch 20 Jahre benötigen würde. Dies ist nun nach offenbar „nur“ gut 10 Jahren gelungen!



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