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Archimedische Körper

Die semi-regulären Polytope im Überblick

Hier finden Sie die ausführliche Informationen zu den archimedischen Körpern und ihren Eigenschaften. Diese Klasse von geometrischen Körpern sind verwandt mit den berühmten platonischen Körpern. Sie können sogar aus ihnen erzeugt werden. Wie das geht, welche besonderen Eigenschaften die archimedischen Körper haben und was sie bedeuten, erfahren Sie hier.

Die wichtigsten Informationen haben wir auf unserer Info-Seite „Archimedische Körper“ zusammengefasst.

Inhalt

  • Einleitung
  • Was sind die archimedischen Körper
  • Die 13 archimedischen Körper
  • Archimedische Körper aus platonischen Körpern erzeugen
  • Für Fortgeschrittene: Die Dualkörper und mehr
  • Archimedische Körper selbst erstellen: Zometools und Bastelbögen

Einleitung

Die archimedischen Körper sind sehr regelmäßige, geometrische Körper. Sie können aus den platonischen Körpern durch Abstumpfen erzeugt werden und wurden schon vor über 2.000 Jahren vom griechischen Mathematiker Archimedes entdeckt und beschrieben. Auch der klassische Fußball ist einer der archimedischen Körper.

Was sind archimedische Körper

Die archimedischen Körper sind geometrische Körper, auch Polyeder genannt, mit besonderen Regelmäßigkeiten. Sie bestehen aus regelmäßigen Vielecken, also aus Flächen, deren Seiten immer die gleiche Länge haben. Beispiele für regelmäßige Vielecke sind das Quadrat oder ein gleichseitiges Dreieck. Jeder archimedische Körper besteht aus zwei oder drei verschiedenen regelmäßigen Vielecken.

Abgestumpfter Hexaeder
Modell abgestumpfter Oktaeder
Kuboktaeder Modell

Drei archimedische Körper: abgestumpfter Hexaeder, abgestumpfter Oktaeder und Kuboktaeder

Bei archimedischen Körpern kann man durch Symmetrieoperationen jede Ecke des Körpers so auf eine andere Ecke abbilden, dass die Körper nicht voneinander zu unterscheiden sind.

Man kann also einen archimedischen Körper so drehen und spiegeln, dass man „vorher“ und „nachher“ nicht unterscheiden kann. Mathematisch nennt man diese Eigenschaft auch die „Uniformität der Ecken“. Alle Körper, die diese Bedingung erfüllen, sind archimedische Körper.

Die 13 archimedischen Körper

Es existieren genau 13 verschiedene archimedische Körper. Sie haben alle folgende besondere Eigenschaften, die sie charakterisieren:

  • Ihre Seitenflächen sind regelmäßige Polygone, haben also gleichlange Kanten.
  • Daher haben alle Kanten eines archimedischen Körpers die gleiche Länge.
  • Die Reihenfolge, in der die Flächen an einer Ecke zusammentreffen, bestimmt jeden archimedischen Körper eindeutig.
  • Man kann jeden archimedischen Körper erzeugen, indem man einen der platonischen Körper abstumpft (s.u.). Daher leitet sich auch die Namen einiger archimedischer Körper von den platonischen Körpern ab.

Jeder archimedischer Körper also besteht aus zwei oder drei verschiedenen Polygonen (Vielecken). Die Flächen, die an einer Ecke zusammentreffen, charakterisieren jeden Körper. Daher geben wir zu jedem archimedischen Körper an, aus welchen regelmäßigen Vielecken er besteht und in welcher Reihenfolge diese an einer Ecke des Körpers zusammentreffen. Diese Reihenfolge beschreibt den Körper schon eindeutig.

Ikosidodekaeder Grafik
Kleiner Rhomben-Kuboktaeder
Kleiner Rhomben-Ikosidodekaeder

Drei weitere archimedische Körper: Ikosidodekaeder, kleiner Rhomben-Kuboktaeder und kleiner Rhomben-Ikosidodekaeder

Die einzelnen archimedischen Körper sind nun folgende:

**Name des Körpers** (ggf. Alternativname) **Flächen, aus denen er entsteht** **Anordnung der Flächen an einer Ecke**
**Kuboktaeder** [Zum Bastelbogen Kuboktader](internal:/papercraft/kuboktaeder) 8 Dreiecke, 6 Quadrate 3, 4, 3, 4 also Dreieck, Viereck, Dreieck, Viereck
**Ikosidodekaeder** [Zum Bastelbogen Ikosidodekaeder](internal:/papercraft/ikosidodekaeder) 20 Dreiecke, 12 Fünfecke 3, 5, 3, 5
**abgestumpfter Tetraeder** (Tetraederstumpf) [Bastelbogen „Abgestumpfter Tetraeder“](internal:/papercraft/abgestumpfter-tetraeder) 4 Dreiecke, 4 Sechsecke 3, 6, 6
**abgestumpfter Hexaeder** (Hexaederstumpf) [Bastelbogen „Abgestumpfter Hexaeder“](internal:/papercraft/abgestumpfter-hexaeder) 8 Dreiecke, 6 Achtecke 3, 8, 8
**abgestumpfter Oktaeder** (Oktaederstumpf) [Bastelbogen „Abgestumpfter Oktaeder“](internal:/papercraft/abgestumpfter-oktaeder) 6 Quadrate, 8 Sechsecke 4, 6, 6
**abgestumpfter Dodekaeder** (Dodekaederstumpf) 20 Dreiecke, 12 Zehnecke 3, 10, 10
**abgestumpfter Ikosaeder, Fußball** [Bastelbogen Fußball](internal:/papercraft/abgestumpfter-ikosaeder-fussball) 12 Fünfecke, 20 Sechsecke 5, 6, 6
**Kleiner Rhomben-Kuboktaeder** (Rhomben-Kuboktaeder) [Bastelbogen „Kleiner Rhomben-Kuboktaeder“](internal:/papercraft/kleiner-rhomben-kuboktaeder) 8 Dreiecke, 18 Quadrate 3, 4, 4, 4
**Großer Rhomben-Kuboktaeder** (Kuboktaederstumpf) 12 Quadrate, 8 Sechsecke, 6 Achtecke 4, 6, 8
**Kleiner Rhomben-Ikosidodekaeder** (Rhomben-Ikosidodekaeder) [Bastelbogen „Kleiner Rhomben-Ikosidodekaeder“](internal:/papercraft/kleiner-rhomben-ikosidodekaeder) 20 Dreiecke, 30 Quadrate, 12 Fünfecke 3, 4, 5, 4
**Großer Rhomben-Ikosidodekaeder** (Ikosidodekaederstumpf) 30 Quadrate, 20 Sechsecke, 12 Zehnecke 4, 6, 10
**Abgeschrägter Würfel** [Bastelbogen „Abgeschrägter Würfel“](internal:/papercraft/abgeschraegter-wuerfel) 32 Dreiecke, 6 Quadrate 3, 3, 3, 3, 4
**Abgeschrägter Dodekaeder** 80 Dreiecke, 12 Fünfecke 3, 3, 3, 3, 5

Archimedische Körper aus den platonischen Körpern erzeugen

Die 13 archimedischen Körper sind eng mit den fünf platonischen Körpern verwandt. Man kann jeden archimedischen Körper durch Abstumpfen, also das Abschneiden der Ecken, aus einem platonischen Körper erzeugen. Dazu muss man ggf. mehrmals diese Abstumpfung durchführen. Ein einfaches Beispiel ist das Erzeugen der drei hier eingekreisten archimedischen Körper aus dem Würfel (links oben), der ein platonischer Körper ist:

Hier werden die drei archimedischen Körper abgestumpfter Hexaeder, Kuboktaeder und abgestumpfter Oktaeder erzeugt.

Diesen Ablauf werden wir nun etwas genauer untersuchen:

Man beginnt, indem man dem Würfel, unserem Ausgangskörper, seine Ecken abschneidet. An ihrer Stelle entstehen gleichseitige Dreiecke, da an jeder Ecke des Würfels vorher drei Quadrate zusammengetroffen sind.

Die Kanten des Würfels (rosa eingefärbt) werden immer kürzer und die ehemals quadratischen Seitenflächen des Würfels (grün) werden durch die Abstumpfung zu Achtecken.

Nun ist ein Körper entstanden, dessen Kanten alle gleich lang sind. Es handelt sich um den abgestumpften Würfel. Dieser ist ein archimedischer Körper, da er die Symmetriebedingung erfüllt.

Setzt man den Prozess des Abstumpfens fort, so verkleinern sich die Achtecke immer mehr, während die Dreiecksflächen größer werden.

Hier sind die ehemals rosafarbenen Kanten zu Punkten, also Ecken, zusammengeschmolzen. Dadurch ist aus der grünen achteckigen Fläche ein Viereck (Quadrat) entstanden. Auch in dieser Konfiguration haben alle Kanten die gleiche Länge, alle Flächen sind regelmäßige Vielecke und man kann den Körper so drehen, dass man vorher und nachher nicht voneinander unterschieden kann. Ein weiterer archimedischer Körper ist entstanden: der Kuboktaeder.

Auf diese Art kann man weiter verfahren. Die Dreiecke, die anfangs die Ecken des Würfels abgestumpft haben, werden immer größer und schneiden sich nun quasi gegenseitig. Dadurch entstehen an diesen Stellen Sechsecke.

Die grüne Fläche wird zu immer kleineren Quadraten zusammengezogen – so weit, bis ein nächster archimedischer Körper aus regulären Sechs- und Vierecken entsteht: der abgestumpfte Oktaeder.

Führt man diesen Prozess noch weiter, werden die Quadrate so lange verkleinert, bis sie auf einen Punkt zusammenfallen. Die Sechsecke dagegen werden immer größer und lassen weitere Kanten „verschwinden“, sodass am Ende nur noch acht Dreiecke übrig bleiben.

Der entstehende Körper hat wieder eine erstaunliche Symmetrie. Es handelt sich um den Oktaeder, einen weiteren platonischen Körper. Er ist dual zum Anfangskörper, dem Würfel. Jeder archimedische Körper kann auf diese Art aus einem platonischen Körper konstruiert werden.

Für Fortgeschrittene: Die Dualkörper und mehr

Die zu den archimedischen Körpern dualen Polyeder sind die catalanischen Körper. Die charakteristische Eigenschaft dieser Körper ist die Uniformität der Flächen, welche sich aus der Uniformität der Ecken der archimedischen Körper ergibt.

Wenn ein archimedischer Körper durch Abstumpfen aus einem platonischen Körper erzeugt werden kann, dann kann er auch aus dem dazu dualen platonischen Körper durch Abstumpfen erzeugt werden.

Von zweien der archimedischen Körper existieren je zwei spiegelbildlich entgegengesetzte Varianten, welche nicht durch Drehung ineinander übergeführt werden können. Diese werden gelegentlich doppelt gezählt, so dass sich nach dieser Zählweise dann insgesamt 15 archimedische Körper ergeben. (Es handelt sich dabei um den abgeschrägten Würfel und den abgeschrägten Dodekaeder.)

Die Symmetriegruppe des Polyeders operiert transitiv auf seinen Ecken. Archimedische Körper erfüllen die globale Uniformität der Ecken. Betrachtet man nur die lokale Uniformität, entsteht zum Beispiel der Pseudo-Rhomben-Kuboktaeder, der nicht aus platonischen Körpern erzeugt werden kann. Er ist kein archimedischer Körper, da er die lokale Uniformität der Ecken nicht erfüllt.

Archimedische Körper selbst erstellen

Zometool

Alle archimedischen Körper können Sie mit dem Zometool-Bausatz „Green Lines“ nachbauen. Eine farbige Anleitung leitet durch den Konstruktionsprozess. Die einzelnen Körper und ihre Eigenschaften werden zusätzlich erläutert.

Falls Sie noch keine Erfahrung mit Zometool haben, empfehlen wir zur Einführung unseren Zometool-Blog.

Bastelbögen

Wir haben neun der archimedischen Körper als Bastelbögen im Angebot, zum Beispiel in unserem Set „Archimedische Körper und Kaleidozykel“ (10 Bögen) oder im Set „einfache archimedische Körper“ (5 Bögen):

Bastelvorlage Archimedische Körper
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Schlagworte
Geometrie
auch für Einsteiger
Archimedische Körper
Platonische Körper
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