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Archimedische Körper


Hier finden Sie die ausführliche Informationen zu den archimedischen Körpern und ihren Eigenschaften. Diese Klasse von geometrischen Körpern sind verwandt mit den berühmten platonischen Körpern. Sie können sogar aus ihnen erzeugt werden. Wie das geht, welche besonderen Eigenschaften die archimedischen Körper haben und was sie bedeuten, erfahren Sie hier.

Die wichtigsten Informationen haben wir auf unserer Info-Seite „Archimedische Körper“ zusammengefasst.

Inhalt

  • Einleitung
  • Was sind die archimedischen Körper
  • Die 13 archimedischen Körper
  • Archimedische Körper aus platonischen Körpern erzeugen
  • Für Fortgeschrittene: Die Dualkörper und mehr
  • Archimedische Körper selbst erstellen: Zometools und Bastelbögen

Einleitung

Die archimedischen Körper sind sehr regelmäßige, geometrische Körper. Mathematisch nennt man sie „semi-regulär”. Sie können aus den platonischen Körpern durch Abstumpfen erzeugt werden und wurden schon vor über 2.000 Jahren vom griechischen Mathematiker Archimedes entdeckt und beschrieben. Auch der klassische Fußball ist einer der archimedischen Körper.

Was sind archimedische Körper

Die archimedischen Körper sind geometrische Körper, auch Polyeder genannt, mit besonderen Regelmäßigkeiten. Sie bestehen aus regelmäßigen Vielecken, also aus Flächen, deren Seiten immer die gleiche Länge haben. Beispiele für regelmäßige Vielecke sind das Quadrat oder ein gleichseitiges Dreieck. Jeder archimedische Körper besteht aus zwei oder drei verschiedenen regelmäßigen Vielecken.

Abgestumpfter Hexaeder Abgestumpfter Oktaeder Kuboktaeder Modell
Drei archimedische Körper: abgestumpfter Hexaeder, abgestumpfter Oktaeder und Kuboktaeder

Bei archimedischen Körpern kann man durch Symmetrieoperationen jede Ecke des Körpers so auf eine andere Ecke abbilden, dass die Körper nicht voneinander zu unterscheiden sind.

Man kann also einen archimedischen Körper so drehen und spiegeln, dass man „vorher“ und „nachher“ nicht unterscheiden kann. Mathematisch nennt man diese Eigenschaft auch die „Uniformität der Ecken“. Alle Körper, die diese Bedingung erfüllen, sind archimedische Körper.

Die 13 archimedischen Körper

Es existieren genau 13 verschiedene archimedische Körper. Sie haben alle folgende besondere Eigenschaften, die sie charakterisieren:

  • Ihre Seitenflächen sind regelmäßige Polygone, haben also gleichlange Kanten.
  • Daher haben alle Kanten eines archimedischen Körpers die gleiche Länge.
  • Die Reihenfolge, in der die Flächen an einer Ecke zusammentreffen, bestimmt jeden archimedischen Körper eindeutig.
  • Man kann jeden archimedischen Körper erzeugen, indem man einen der platonischen Körper abstumpft (s.u.). Daher leitet sich auch die Namen einiger archimedischer Körper von den platonischen Körpern ab.

Jeder archimedischer Körper also besteht aus zwei oder drei verschiedenen Polygonen (Vielecken). Die Flächen, die an einer Ecke zusammentreffen, charakterisieren jeden Körper. Daher geben wir zu jedem archimedischen Körper an, aus welchen regelmäßigen Vielecken er besteht und in welcher Reihenfolge diese an einer Ecke des Körpers zusammentreffen. Diese Reihenfolge beschreibt den Körper schon eindeutig.

Ikosidodekaeder, ein archimedischer Körper Der kleine Rhomben-Kuboktaeder Kleiner Rhomben-Ikosidodekaeder
Drei weitere archimedische Körper: Ikosidodekaeder, kleiner Rhomben-Kuboktaeder und kleiner Rhomben-Ikosidodekaeder

Die einzelnen archimedischen Körper sind nun folgende:

Name des Körpers

(ggf. Alternativname)
Flächen, aus denen er entsteht Anordnung der Flächen an einer Ecke
Kuboktaeder

Zum Bastelbogen Kuboktader
8 Dreiecke, 6 Quadrate 3, 4, 3, 4

also Dreieck, Viereck, Dreieck, Viereck
Ikosidodekaeder

Zum Bastelbogen Ikosidodekaeder
20 Dreiecke, 12 Fünfecke 3, 5, 3, 5
abgestumpfter Tetraeder

(Tetraederstumpf)

Bastelbogen „Abgestumpfter Tetraeder“
4 Dreiecke, 4 Sechsecke 3, 6, 6
abgestumpfter Hexaeder

(Hexaederstumpf)

Bastelbogen „Abgestumpfter Hexaeder“
8 Dreiecke, 6 Achtecke 3, 8, 8
abgestumpfter Oktaeder

(Oktaederstumpf)

Bastelbogen „Abgestumpfter Oktaeder“
6 Quadrate, 8 Sechsecke 4, 6, 6
abgestumpfter Dodekaeder

(Dodekaederstumpf)
20 Dreiecke, 12 Zehnecke 3, 10, 10
abgestumpfter Ikosaeder, Fußball

Bastelbogen Fußball
12 Fünfecke, 20 Sechsecke 5, 6, 6
Kleiner Rhomben-Kuboktaeder

(Rhomben-Kuboktaeder)

Bastelbogen „Kleiner Rhomben-Kuboktaeder“
8 Dreiecke, 18 Quadrate 3, 4, 4, 4
Großer Rhomben-Kuboktaeder

(Kuboktaederstumpf)
12 Quadrate, 8 Sechsecke, 6 Achtecke 4, 6, 8
Kleiner Rhomben-Ikosidodekaeder

(Rhomben-Ikosidodekaeder)

Bastelbogen „Kleiner Rhomben-Ikosidodekaeder“
20 Dreiecke, 30 Quadrate, 12 Fünfecke 3, 4, 5, 4
Großer Rhomben-Ikosidodekaeder

(Ikosidodekaederstumpf)
30 Quadrate, 20 Sechsecke, 12 Zehnecke 4, 6, 10
Abgeschrägter Würfel

Bastelbogen „Abgeschrägter Würfel“
32 Dreiecke, 6 Quadrate 3, 3, 3, 3, 4
Abgeschrägter Dodekaeder 80 Dreiecke, 12 Fünfecke 3, 3, 3, 3, 5

Archimedische Körper aus den platonischen Körpern erzeugen

Die 13 archimedischen Körper sind eng mit den fünf platonischen Körpern verwandt. Man kann jeden archimedischen Körper durch Abstumpfen, also das Abschneiden der Ecken, aus einem platonischen Körper erzeugen. Dazu muss man ggf. mehrmals diese Abstumpfung durchführen. Ein einfaches Beispiel ist das Erzeugen der drei hier eingekreisten archimedischen Körper aus dem Würfel (links oben), der ein platonischer Körper ist:

Hier werden die drei archimedischen Körper abgestumpfter Hexaeder, Kuboktaeder und abgestumpfter Oktaeder erzeugt.

Diesen Ablauf werden wir nun etwas genauer untersuchen:

Man beginnt, indem man dem Würfel, unserem Ausgangskörper, seine Ecken abschneidet. An ihrer Stelle entstehen gleichseitige Dreiecke, da an jeder Ecke des Würfels vorher drei Quadrate zusammengetroffen sind.

Die Kanten des Würfels (rosa eingefärbt) werden immer kürzer und die ehemals quadratischen Seitenflächen des Würfels (grün) werden durch die Abstumpfung zu Achtecken.

Nun ist ein Körper entstanden, dessen Kanten alle gleich lang sind. Es handelt sich um den abgestumpften Würfel. Dieser ist ein archimedischer Körper, da er die Symmetriebedingung erfüllt.

Setzt man den Prozess des Abstumpfens fort, so verkleinern sich die Achtecke immer mehr, während die Dreiecksflächen größer werden.

Hier sind die ehemals rosafarbenen Kanten zu Punkten, also Ecken, zusammengeschmolzen. Dadurch ist aus der grünen achteckigen Fläche ein Viereck (Quadrat) entstanden. Auch in dieser Konfiguration haben alle Kanten die gleiche Länge, alle Flächen sind regelmäßige Vielecke und man kann den Körper so drehen, dass man vorher und nachher nicht voneinander unterschieden kann. Ein weiterer archimedischer Körper ist entstanden: der Kuboktaeder.

Auf diese Art kann man weiter verfahren. Die Dreiecke, die anfangs die Ecken des Würfels abgestumpft haben, werden immer größer und schneiden sich nun quasi gegenseitig. Dadurch entstehen an diesen Stellen Sechsecke.

Die grüne Fläche wird zu immer kleinen Quadraten zusammengezogen – so weit, bis ein nächster archimedischer Körper aus regulären Sechs- und Vierecken entsteht: der abgestumpfte Oktaeder.

Führt man diesen Prozess noch weiter, werden die Quadrate so lange verkleinert, bis sie auf einen Punkt zusammenfallen. Die Sechsecke dagegen werden immer größer und lassen weitere Kanten „verschwinden“, sodass am Ende nur noch acht Dreiecke übrig bleiben.

Der entstehende Körper hat wieder eine erstaunliche Symmetrie. Es handelt sich um den Oktaeder, einen weiteren platonischen Körper. Er ist dual zum Anfangskörper, dem Würfel. Jeder archimedische Körper kann auf diese Art aus einem platonischen Körper konstruiert werden.

Für Fortgeschrittene: Die Dualkörper und mehr

Die zu den archimedischen Körpern dualen Polyeder sind die catalanischen Körper. Die charakteristische Eigenschaft dieser Körper ist die Uniformität der Flächen, welche sich aus der Uniformität der Ecken der archimedischen Körper ergibt.

Wenn ein archimedischer Körper durch Abstumpfen aus einem platonischen Körper erzeugt werden kann, dann kann er auch aus dem dazu dualen platonischen Körper durch Abstumpfen erzeugt werden.

Von zweien der archimedischen Körper existieren je zwei spiegelbildlich entgegengesetzte Varianten, welche nicht durch Drehung ineinander übergeführt werden können. Diese werden gelegentlich doppelt gezählt, so dass sich nach dieser Zählweise dann insgesamt 15 archimedische Körper ergeben. (Es handelt sich dabei um den abgeschrägten Würfel und den abgeschrägten Dodekaeder.)

Die Symmetriegruppe des Polyeders operiert transitiv auf seinen Ecken. Archimedische Körper erfüllen die globale Uniformität der Ecken. Betrachtet man nur die lokale Uniformität, entsteht zum Beispiel der Pseudo-Rhomben-Kuboktaeder, der nicht aus platonischen Körpern erzeugt werden kann. Er ist kein archimedischer Körper, da er die lokale Uniformität der Ecken nicht erfüllt.

Archimedische Körper selbst erstellen

Zometool

Alle archimedischen Körper können Sie mit dem Zometool-Bausatz „Green Lines“ nachbauen. Eine farbige Anleitung leitet durch den Konstruktionsprozess. Die einzelnen Körper und ihre Eigenschaften werden zusätzlich erläutert.

Bastelbögen

Wir haben neun der 13 archimedischen Körper als Bastelbögen im Angebot, zum Beispiel in unserem Set „Archimedische Körper und Kaleidozykel“ (10 Bögen) oder im Set „einfache archimedische Körper“ (5 Bögen):

Archimedische Körper basteln Einfache Archimedische Körper basteln


Zometool Green Lines
Zometool Green Lines

Mit dem „Green Lines“-Bausatz können Sie neue Geometrien bauen: Tetraeder, Oktaeder und alle archimedischen Körper sind möglich. Die grünen Zometool-Streben kann man zum Teilen eines Quadrats nutzen oder um die Raumdiagonale eines Würfels zu konstruieren.

Im „Green Lines“-Bausatz sind neben den grünen Streben in drei Längen auch einige blaue Streben und natürlich die weißen Verbindungskugeln enthalten.

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Holzpolyeder Kleiner Rhomben-Ikosidodekaeder
Holzpolyeder Kleiner Rhomben-Ikosidodekaeder

Der kleine Rhomben-Ikosidodekaeder ist ein weiterer archimedischer Körper. Er besteht aus insgesamt 62 Flächen, 120 Kanten und 60 Ecken. Dieses Modell ist aus Buchen- und Nussholz gefertigt. Mehr zu den Eigenschaften und wie dieser Körper aus dem Dodekaeder und dem Ikosaeder entsteht, lesen Sie hier.

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Holzpolyeder Kleiner Rhomben-Kuboktaeder
Holzpolyeder Kleiner Rhomben-Kuboktaeder

Ein handgefertigtes Modell des kleinen Rhomben-Kuboktaeders. Die geometrischen Eigenschaften dieses archimedischen Körpers werden durch das Holzmodell veranschaulicht. Der kleine Rhomben-Kuboktaeder ist einer der 13 archimedischen Körper. Diese Gruppe von regulären Körpern hat besondere Eigenschaften. Sie sind fast so regelmäßig wie die platonischen Körper, aus denen man die archimedischen Körper erzeugen kann. mehr lesen ...


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Holzpolyeder Ikosidodekaeder
Holzpolyeder Ikosidodekaeder

Der Ikosidodekaeder ist einer der 13 archimedischen Körper. Er entsteht, wenn man einen Ikosaeder und einen Dodekaeder vereinigt, umfasst also alle Punkte, die diese beiden Körper gemeinsam haben. Dieses handgefertigte Modell aus hellem Buchenholz veranschaulicht alle Eigenschaften dieses besonderen Körpers.

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Zometool Set: Creator 3 & Green Lines
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Bastelbogen-Set: 9 Archimedische Körper und Kaleidozykel
Bastelbogen-Set: 9 Archimedische Körper und Kaleidozykel

Dieses Set enthält alle bei uns verfügbaren archimedischen Körper und das beliebte Kaleidozykel.

Enthalten ist je ein Exemplar folgender Bögen:

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Bastelbogen-Set: Einfache Archimedische Körper
Bastelbogen-Set: Einfache Archimedische Körper

Dieses Set enthält fünf Bastelbögen für fünf archimedische Körper. Diese Auswahl von Körpern ist mit etwas weniger Aufwand zu basteln, zeigt aber schon alle Eigenschaften dieser besonderen Gruppe von Geometrien. Hier stellen wir die archimedischen Körper mit ihren Besonderheiten und die fünf im Set enthaltenen Modelle vor.

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Bastelbogen-Set: Rhombische Körper
Bastelbogen-Set: Rhombische Körper

In diesem Set sind fünf Bögen enthalten, an denen man die Eigenschaften von archimedischen Körpern erfahren und erforschen kann.

An drei archimedischen Körpern kann man ihre besonderen Symmetrien und Eigenschaften erkennen. Ein catalanischer Körper zeigt, warum archimedische und catalanische Körper dual zueinander sind. Und am letzten Körper kann man genau erkennen, warum er nicht zu den archimedischen Körpern gehört.

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Zometool Green Lines (englisch)
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Zometool-Einzelteile Verbindungskugeln Grün, 30 Stück
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Die Zometool-Verbindungskugel gibt es jetzt in zehn verschiedenen Farben! Bestellen Sie Ihre Lieblingsfarbe passend zu Ihrem individuellen Modell. Ergänzen Sie schon verhandene Konstruktionen und lassen Sie die Kugeln farbliche Akzente setzen. Sie erhalten ein Set mit 30 Kugeln in Grün. Diese Kugeln sind in keinem der anderen Bausätze enthalten.

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Zometool-Einzelteile Streben G1, 100 Stück
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Hier erhalten Sie die Streben „G1: Grün Kurz“ im 100er-Pack. Diese Länge entspricht den mittleren grünen Streben aus dem Bausatz „Green Lines“.

Setzen Sie Ihre individuellen Modelle in die Tat um. Alle Streben und Kugeln sind mit den fertigen Zometool-Bausätzen kompatibel und können mit anderen Zometool-Sets ergänzt werden.

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Holzpolyeder Rhombentriakontaeder
Holzpolyeder Rhombentriakontaeder

Dieses Modell zeigt den Rhombentriakontaeder, der aus 30 gleichförmigen Rhomben besteht. Der Körper ist hohl, seine Hülle aus den 30 Rhomben insgesamt geschlossen. Dieses Exemplar besteht aus Nuss- und Buchenholz.

Diese einmaligen Holzpolyeder werden in beständiger Handarbeit geschaffen. Alle Modelle sind Einzelstücke.

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Bastelbogen 10x Abgeschrägter Würfel
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Der abgeschrägte Würfel ist einer der 13 archimedischen Körper. Die archimedischen Körper werden auch als semireguläre Polyeder bezeichnet. Sie haben besondere Symmetrieeigenschaften, die man an diesem Körper erkennen kann. Mehr zu diesem Bastelbogen gibt es hier.

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Bastelbogen 10x Abgestumpfter Hexaeder
Bastelbogen 10x Abgestumpfter Hexaeder

Der abgestumpfte Hexaeder ist einer der 13 archimedischen Körper. Alle Kanten eines archimedischen Körpers haben die gleiche Länge. Der abgestumpfte Hexaeder besteht aus Achtecken und Dreiecken. Er ist verwandt mit dem Würfel (Hexaeder).

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Bastelbogen 10x Kleiner Rhomben-Ikosidodekaeder
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Der kleine Rhomben-Ikosidodekaeder ist einer der 13 archimedischen Körper. Diese Gruppe von semi-regulären geometrischen Körpern ist verwandt mit den platonischen Körpern.

Alle Flächen eines archimedischen Körpers sind regelmäßige Polygone. Die Reihenfolge, in denen die Flächen an einer Ecke zusammentreffen, charakterisieren jeden archimedischen Körper. Beim kleinen Rhomben-Ikosidodekaeder treffen ein Dreieck, zwei Quadrate und ein Fünfeck aufeinander.

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