Bild Exploring Complex Functions using Domain Coloring (B1-Poster)


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In der diesjährigen International Science & Engineering Visualization Challenge, die jedes Jahr von der National Science Foundation und dem Wissenschaftsmagazin „Science“ veranstaltet wird, wurde das Bild „Exploring Complex Functions using Domain Coloring“ mit einem Honorable-Mention-Preis prämiert – der höchste Preis, der dieses Jahr in der Illustration-Kategorie vergeben wurde.

Das Bild zeigt ein sogenanntes Domain Coloring einer komplexen Funktion. Dabei wählt man ein geeignetes Farbschema, das auf der ganzen komplexen Ebene definiert ist und somit jeder komplexen Zahl eine Farbe zuordnet und wertet die Funktion auf einem vorgegebenen Bereich – der Domain – aus.

Nun färbt man jeden Pixel der Domain entsprechend der Farbe ein, die das Farbschema dem Funktionswert der Funktion an dieser Stelle zuweist. Somit ist es möglich, den Werte- und Definitionsbereich der Funktion in einem einzigen Bild gleichzeitig darzustellen. Traditionelle Funktionsgraphen, wie wir sie aus der Schule kennen, leisten dies nicht, da sie in einem vierdimensionalen Koordinatensystem leben würden.

Die hier gezeigte Funktion \(g(z) := f\bigl(f(z)\bigr)\) mit \[f(z) := \frac{\mathrm{i}z}{\exp(z/\sin(\mathrm{i}z) )} - 1\] scheint auf den ersten Blick symmetrisch zu sein, ist aber hochgradig irregulär. Große weiße Bereiche mit vielen umgebenden, immer feiner werdenden Regenbögen kodieren sog. wesentliche Singularitäten, wohingegen schwarze Bereiche Nullstellen der Funktion sind. Die weißen und schwarzen Linien stellen radiale bzw. konzentrische Niveaulinien dar – entlang dieser Linien haben die Funktionswerte von \(f\) also dieselben Winkel (Argumente) bzw. dieselben Beträge.

Mehr über Domain Colorings kann man im Buch Bilder der Mathematik im Kapitel 14, „Landkarten und Abbildungen“, erfahren.

Weitere Bilder zu diesem Thema:

Schlagworte:
Mathematische Gebiete
Funktionentheorie
Themen
Imaginäre Zahl
Domain Coloring
Artikelnummer
02-2226-01-01

Autor: Konstantin Poelke; Konrad Polthier

Standard-Format: 50 x 70 cm

Veröffentlicht: 2011

Schlagworte: Funktionentheorie, Domain Coloring; imaginäre Zahl

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