3D-Modell Hilbertkurve weiß (4,5 cm)


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Die Hilbert-Kurve ist eine besondere mathematische Struktur, die 1908 von David Hilbert erstmals beschrieben wurde. Sie ist rekursiv, entsteht also durch die Wiederholung eines bestimmten Musters.

Die Hilbert-Kurve besteht aus nur einer zusammenhängenden „Linie“, die mit jedem Rekursionsschritt mehr und mehr Raum einnimmt. Daher nennt man die Hilbert-Kurve auch eine raumfüllende Kurve.

Eine dreidimensionale Version der Hilbert-Kurve gibt es hier als 3D-Druck:

Hilbert Kurve 3D
Das Modell der dreidimensionalen Hilbert-Kurve (4,5 cm Kantenlänge)

Die Hilbert-Kurve wird durch Rekursion erzeugt. In jedem Rekursionsschritt wird eine bestimmte gerade Strecke ersetzt. In der zweidimensionalen Ebene sieht die Rekursion dann so aus:

Hilbert-Kurve nach einer Iteration Hilbert-Kurve nach drei Iterationen
Die ersten drei Schritte für die Rekursion der Hilbert-Kurve. (Die Struktur des vorherigen Schrittes ist zum Verständnis weiter sichtbar)

Dieses Rekursionsprinzip kann man nun auch auf den Raum ausweiten, also dreidimensional anwenden. Ein Modell solch einer dreidimensionalen Hilbert-Kurve gibt es hier als Druck aus einem 3D-Drucker, entworfen von Henry Segerman.

Modell der dreidimensionalen raumfüllenden Hilbert-Kurve
Rendering des Modells der dreidimensionalen Hilbert-Kurve

Das Modell

Die besondere Konstruktion dieser dreidimensionalen Hilbert-Kurve erzeugt eine einzigartige und faszinierende Struktur, die man sogar bewegen kann:

Modell der dreidimensionalen raumfüllenden Hilbert-KurveModell der dreidimensionalen raumfüllenden Hilbert-Kurve
Die dreidimensionale Hilbert-Kurve im Grundzustand (links) und gedehnt (rechts)

Eine Animation der Bewegung, die mit diesem Modell möglich sind, sehen Sie hier im Video vom Hersteller des Modells, Henry Segerman:

Mehr zu Henry Segerman finden Sie auf seiner Homepage www.segerman.org.

Zur Mathematik

Eine Animation der Rekursion in der Ebene:

Die rekursive Struktur der Hilbert-Kurve animiert
Die rekursive Struktur der Hilbert-Kurve animiert

Namensgeber David Hilbert

1908 beschrieb der deutsche Mathematiker David Hilbert zum ersten Mal die heute nach ihm benannte Hilbert-Kurve. David Hilbert beschäftigte sich viel mit algebraischer Zahlentheorie und der Geometrie. Er stellte außerdem durch die von ihm mitentwickelte Invariantentheorie eine Verbindung zwischen der Algebra und der Geometrie her und begründete damit die algebraische Geometrie.

Material und Herstellung

Das Modell wurde von Henry Segerman entworfen und durch die Plattform Shapeways hergestellt. Das verwendete Material „White Strong & Flexible“ hat folgende Eigenschaften:

  • Stärke: Hoch
  • Genauigkeit: Hoch
  • Glätte: Mittel
  • Beweglichkeit: Hoch
  • Glanz: Niedrig
  • Transparenz: Niedrig

Mehr zum Material finden Sie auch hier.

Schlagworte:
Material
3D-Druck
Mathematische Gebiete
Algebra
Themen
Fraktale
Verwandte Fachgebiete
Kunst
Artikelnummer
05-2310-21

Veröffentlicht: 2013

Schlagworte: David Hilbert;Fraktal

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