Die Hilbert-Kurve ist eine besondere mathematische Struktur, die 1908 von David Hilbert erstmals beschrieben wurde. Sie ist rekursiv, entsteht also durch die Wiederholung eines bestimmten Musters.
Die Hilbert-Kurve besteht aus nur einer zusammenhängenden „Linie“, die mit jedem Rekursionsschritt mehr und mehr Raum einnimmt. Daher nennt man die Hilbert-Kurve auch eine raumfüllende Kurve.
Eine dreidimensionale Version der Hilbert-Kurve gibt es hier als 3D-Druck:
Das Modell der dreidimensionalen Hilbert-Kurve (4,5 cm Kantenlänge)
Die Hilbert-Kurve wird durch Rekursion erzeugt. In jedem Rekursionsschritt wird eine bestimmte gerade Strecke ersetzt. In der zweidimensionalen Ebene sieht die Rekursion dann so aus:
Die ersten drei Schritte für die Rekursion der Hilbert-Kurve. (Die Struktur des vorherigen Schrittes ist zum Verständnis weiter sichtbar)
Dieses Rekursionsprinzip kann man nun auch auf den Raum ausweiten, also dreidimensional anwenden. Ein Modell solch einer dreidimensionalen Hilbert-Kurve gibt es hier als Druck aus einem 3D-Drucker, entworfen von Henry Segerman.
Rendering des Modells der dreidimensionalen Hilbert-Kurve
Das Modell
Die besondere Konstruktion dieser dreidimensionalen Hilbert-Kurve erzeugt eine einzigartige und faszinierende Struktur, die man sogar bewegen kann:
Die dreidimensionale Hilbert-Kurve im Grundzustand (links) und gedehnt (rechts)
Eine Animation der Bewegung, die mit diesem Modell möglich sind, sehen Sie hier im Video vom Hersteller des Modells, Henry Segerman:
Mehr zu Henry Segerman finden Sie auf seiner Homepage www.segerman.org.
Zur Mathematik
Eine Animation der Rekursion in der Ebene:
Namensgeber David Hilbert
1908 beschrieb der deutsche Mathematiker David Hilbert zum ersten Mal die heute nach ihm benannte Hilbert-Kurve. David Hilbert beschäftigte sich viel mit algebraischer Zahlentheorie und der Geometrie. Er stellte außerdem durch die von ihm mitentwickelte Invariantentheorie eine Verbindung zwischen der Algebra und der Geometrie her und begründete damit die algebraische Geometrie.
Material und Herstellung
Das Modell wurde von Henry Segerman entworfen und durch die Plattform Shapeways hergestellt. Das verwendete Material „White Strong & Flexible“ hat folgende Eigenschaften:
- Stärke: Hoch
- Genauigkeit: Hoch
- Glätte: Mittel
- Beweglichkeit: Hoch
- Glanz: Niedrig
- Transparenz: Niedrig
Mehr zum Material finden Sie auch hier.
- Blogbeitrag zu David Hilbert auf vismath
- Animation der rekursiven Konstruktion der Hilbert-Kurve in einem kurzen Youtube-Video
- Mehr zu Henry Segerman auf www.segerman.org
- Schlagworte
-
David Hilbert
Fraktal - Erscheinungsjahr
- 2013
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