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Satz des Pythagoras


Der Satz des Pythagoras ist einer der fundamentalen Sätze der euklidischen Geometrie. Er besagt, dass in allen ebenen rechtwinkligen Dreiecken die Summe der Flächeninhalte der Kathetenquadrate gleich dem Flächeninhalt des Hypotenusenquadrates ist.

Geschichtliches

Der Satz ist nach Pythagoras von Samos benannt, der als erster einen Beweis dafür gefunden haben soll, was allerdings in der Forschung umstritten ist. Schon lange vor der Zeit Pythagoras’ war das später nach ihm benannte mathematische Theorem in Babylon und Indien bekannt. Es gibt jedoch keinen Nachweis dafür, dass man dort bereits einen mathematischen Beweis hatte.

Der Satz des Pythagoras

Hat man also ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seiten \( a \), \( b \) und \( c \) gegeben, wobei \( a \) und \( b \) Katheten des Dreiecks sind (also am rechten Winkel anliegen) und \( c \) die Hypotenuse (also gegenüber des rechten Winkels liegt) so gilt: \[ a^2 + b^2 = c^2 \]

Hinter dieser Gleichung steckt eine geometrische Aussage über den Flächeninhalt von Quadraten, denn \( a^2 \), \( b^2 \) und \( c^2 \) beschreiben jeweils die Fläche eines Quadrates mit Seitenlänge \( a \), \( b \) oder \( c \). Der Satz des Pythagoras sagt nun:

Der Flächeninhalt eines Quadrates mit Seitenlänge \( c \) (Hypotenuse) ist genau so groß wie der Flächeninhalt von zwei Quadraten mit Seitenlänge \( a \) und \( b \) zusammen.

Eine ziemlich starke Aussage, die ja für jedes rechtwinklige Dreieck gilt.

Beweis

Es gibt verschiedene Arten, diese Gleichung zu beweisen und zu veranschaulichen

Satz des Pythagoras Beweis
Satz des Pythagoras

Man kann wie in diesem Beispiel die Quadrate betrachten, die an jeder Seite des Dreiecks entstehen. Wenn man nun das blaue bzw. gelbe Quadrat der beiden Katheten geschickt unterteilt, kann man sehen, dass sich die Teile genau in einem Quadrat mit der Seitenlänge der Hypotenuse anordnen lassen.

Diesen Ansatz nutzt das Ausgangsdreieck, um daraus das Hypotenusenquadrat zu bilden. Kluge Verschiebungen der Flächen zeigen dann die Gleichheit zur Summe der Kathetenquadrate:

Animation vom Beweis des Satz des Pythagoras
Animation zum Satz des Pythagoras
(Quelle: Alvesgaspar, Wikimedia Commons)


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