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Projektiver Raum


Der projektive Raum ist in der Mathematik ein grundlegender Begriff sowohl der Differentialgeometrie als auch der algebraischen Geometrie.

Geometrisch kann man den projektiven Raum als Erweiterung des affinen Raumes auffassen. Bei dieser Erweiterung fügt man zu den Punkten des Raumes für jede Schar paralleler Geraden im affinen Raum jeweils ihre Richtung als neuen Punkt (Fernpunkt) hinzu. Damit entfallen in Sätzen und Beweisen viele Fallunterscheidungen, die in der affinen Formulierung aufgrund der Parallelität nötig sind. In der Koordinatendarstellung geschieht diese Erweiterung, indem im affinen Raum homogene Koordinaten eingeführt werden und die Einschränkung, dass die dabei zusätzlich eingeführte Koordinate nicht 0 sein darf, fallengelassen wird.



Bild Die Boy-Fläche (B1-Poster)
Bild Die Boy-Fläche (B1-Poster)

Diese von Werner Boy gefundene Fläche ist ein Modell der projektiven Ebene. Es handelt sich also um eine Fläche mit konstanter Krümmung 1, so wie eine Kugeloberfläche. Allerdings ist die projektive Ebene wie das Möbiusband oder die Klein'sche Flasche nicht orientierbar, sie hat also nur eine Seite und kein Innen oder Außen.

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