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Platonische Körper


Die platonischen Körper sind fünf besonders regelmäßige konvexe Polyeder (Vielflächner), die nach dem griechischen Philosophen Platon benannt wurden: Tetraeder, Oktaeder, Hexaeder, Dodekaeder und Ikosaeder. Hier stellen wir die Körper, ihre Eigenschaften und ihre Bedeutung in der Mathematik und Natur vor.

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Die fünf platonischen Körper: Tetraeder, Oktaeder, Würfel, Dodekaeder und Ikosaeder

Was sind die platonischen Körper?

Es gibt genau fünf platonische Körper, nämlich Tetraeder, Würfel (auch Hexaeder genannt), Oktaeder, Dodekaeder und Ikosaeder. Jeder platonische Körper besteht nur aus einer Flächenart.

Name Art Fläche Anz. Flächen Anz. Kanten Anz. Ecken
Tetraeder Dreieck 4 6 4
Würfel Viereck 6 12 8
Oktaeder Dreieck 8 12 6
Dodekaeder Fünfeck 12 30 20
Ikosaeder Dreieck 20 30 12

Was ist das Besondere an den platonischen Körpern?

Die platonischen Körper sind dadurch charakterisiert, dass sie sich aus jeweils einer regelmäßigen Form zusammensetzen. Ihre Seitenflächen sind also zueinander kongruente, regelmäßige Vielecke, von denen in jeder Ecke jeweils gleich viele zusammentreffen.

Diese speziellen Körper sind schon seit Jahrtausenden bekannt und hatten seit der Antike auch großen Einfluss auf das Weltbild. Mit der Perfektheit der fünf Körper wollte man die Zusammensetzung des Universums beschreiben.

Kepler: Weltmodell
Die vier Elemente und das Universum dargestellt durch die platonischen Körper nach Johannes Kepler

Die Namen der platonischen Körper stammen aus dem Griechischen und beziehen sich auf die Anzahl ihrer Flächen:

  • Tetraeder: Vierflächner aus vier Dreiecken („Tetra“ ist griechisch für vier)
  • Hexaeder: Sechsflächner bzw. Würfel aus sechs Quadraten („Hexa“ = sechs)
  • Oktaeder: Achtflächner aus acht Dreiecken („Okta“ = acht)
  • Dodekaeder: Zwölfflächner aus zwölf Fünfecken („Dode“ = zwölf)
  • Ikosaeder: Zwanzigflächner aus zwanzig Dreiecken („Iko“ = zwanzig)

Die platonischen Körper in der Natur

Die besonders regelmäßigen und symmetrischen Strukturen der platonischen Körper findet man auch in der Natur. Einige Kristalle bilden sich beispielsweise in diesen Formen. So kommt Cuprit, auch Rotkupfererz (CuO) genannt, in der Form des Würfels, des Oktaeders und auch des rhombischen Dodekaeders vor. Fluorit (Flußspat) bildet ebenfalls würfelförmige Kristalle. Das Eisenerz Magnetit kommt in Oktaederform vor. Pyrit findet man auch in Form eines Dodekaeders.

In der Biologie kann man die Form des Ikosaeders in einigen Viren wiederfinden. Um ihre DNA zu schützen, bilden diese Viren eine ikosaederförmige Hülle aus Proteinen.

Ikosaeder im Tiervirus
Eine Ikosaeder-Struktur im Tiervirus

Die Bedeutung der platonischen Körper in der Mathematik

Die auffälligen Regelmäßigkeiten und Symmetrien dieser fünf Körper machen sie so besonders und gleichermaßen für Mathematiker und Künstler interessant.

Mathematisch sagt man auch, dass man bei einem platonischen Körper die Ecken nicht voneinander unterscheiden kann. Aufgrund ihres Aufbaus werden sie daher auch reguläre oder regelmäßige Körper genannt. Die platonischen Körper und ihre besonderen Eigenschaften sind schon mehr als 2.500 Jahre bekannt und faszinieren seitdem die Menschheit. Dass es nur genau fünf dieser Körper gibt, konnte schon Euklid zeigen.

Dualität der platonischen Körper

Neben diesen besonderen Eigenschaften, die jeder der fünf Körper für sich hat, stehen die platonischen Körper auch in einer besonderen Beziehung untereinander: sie sind dual zueinander. Wenn man bei einem platonischen Körper jeden Mittelpunkt seiner Seitenflächen miteinander verbindet, so erhält man wieder einen platonischen Körper. Erzeugt man zu diesem dualen Körper nun erneut den Dualkörper, so erhält man wieder den Ursprungskörper. Diese Dualität ist ebenfalls schon seit Jahrtausenden bekannt.

Der Oktaeder ist dual zum Würfel (und andersherum), der Ikosaeder ist dual zum Dodekaeder (und andersherum) und der Tetraeder ist zu sich selbst dual. Daher hat auch der Oktaeder so viele Flächen wie der Würfel Kanten hat und so weiter.

Keplers Weltmodell

Im 16. Jahrhundert glaubte der deutsche Mathematiker, Astronom und Philosoph Kepler, dass die Gesetze des Universums auf den platonischen Körpern basieren. Er konstruierte auch ein Weltmodell, das aus allen fünf Körpern besteht. Dabei beschreibt jeder Körper bzw. seine Umkugel die Bahn eines Planeten, der die Sonne umkreist. Sein Weltmodell kann man mit dem Zometool-Bausatz Keplers Kosmos nachbauen.

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