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Parkettierung


Unter dem Begriff Parkettierung versteht man in der Mathematik eine lückenlose und überlappungsfreie Überdeckung der euklidischen Ebene durch gleichförmige Teilflächen. Man unterscheidet zwischen verschiedenen Arten der Parkettierung.

Reguläre Parkettierungen

Bei den regulären oder platonischen Parkettierungen wird nur eine regelmäßig geformte Fläche benutzt. Bei dieser Art der Parkettierung sind nur drei Grundformen möglich: gleichseitiges Dreieck, Quadrat, regelmäßiges Sechseck. Mehr dazu im Blog „Parkettierungen der Ebene“.

Regelmäßige Parkettierungen

Semireguläre Parkettierungen

Statt nur eine regelmäßige Fläche zum Ausfüllen der Ebene zu nutzen, werden bei den semiregulären Parkettierungen mehrere verschiedene, aber regelmäßige Flächen benötigt. Es ergeben sich Analogien zu den archimedischen Körpern. Mehr dazu in unserem Blog zu „semiregulären Parkettierungen“.

Aperiodische Parkettierungen

1973 hat Roger Penrose eine aperiodische Parkettierung aus zwei Rauten gefunden, die ebenfalls die Ebene lückenlos ausfüllen. Im Gegensatz zu den anderen Arten der Parkettierung wiederholt sich das Muster aber an keiner Stelle.

Über diese besondere Parkettierung gibt es auch einen Film, den Sie bei uns kostenlos online anschauen können: In „The Penrose Tesselation“ wird in ca. 15 Minuten visualisiert, wie die aperiodische Penrose-Parkettierung entsteht! .

Parkettierungen in der Kunst

Parkettierungen mit beliebigen Formen: Quadrat Parkettierungen mit beliebigen Formen: Quadrat 2 Parkettierungen mit beliebigen Formen: aus dem Sechseck konstruiert Parkettierungen mit beliebigen Formen: aus dem Sechseck konstruiert 2
Diese vier Bilder stammen aus dem Buch Bilder der Mathematik

Ausgehend von den gezeigten Parkettierungen mit Polygonen, also Vielecken, kann man Parkettierungen aus fast beliebigen Formen entwickeln. Bei Einhaltung gewisser Symmetrieregeln kann man jede gezeigte periodische Parkettierung abändern und neue Formen erzeugen:

Um eine neue Parkettierung zu erhalten, kann man die Seiten der Flächen verändern. Dabei muss darauf geachtet werden, dass die Regelmäßigkeit erhalten bleibt. Dies erreicht man, indem die Änderung einer Kante einer Fläche punktsymmetrisch zu ihrem Mittelpunkt erfolgt.

Auch M.C. Escher beschäftigte sich mit auf diesem Weg mit den Parkettierungen der Ebene. Seine Muster bestanden oft aus Tieren oder Muscheln.



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