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Parkettierung


Unter dem Begriff Parkettierung versteht man in der Mathematik eine lückenlose und überlappungsfreie Überdeckung der euklidischen Ebene durch gleichförmige Teilflächen. Man unterscheidet zwischen verschiedenen Arten der Parkettierung.

Reguläre Parkettierungen

Bei den regulären oder platonischen Parkettierungen wird nur eine regelmäßig geformte Fläche benutzt. Bei dieser Art der Parkettierung sind nur drei Grundformen möglich: gleichseitiges Dreieck, Quadrat, regelmäßiges Sechseck. Mehr dazu im Blog „Parkettierungen der Ebene“.

Regelmäßige Parkettierungen

Semireguläre Parkettierungen

Statt nur eine regelmäßige Fläche zum Ausfüllen der Ebene zu nutzen, werden bei den semiregulären Parkettierungen mehrere verschiedene, aber regelmäßige Flächen benötigt. Es ergeben sich Analogien zu den archimedischen Körpern. Mehr dazu in unserem Blog zu „semiregulären Parkettierungen“.

Aperiodische Parkettierungen

1973 hat Roger Penrose eine aperiodische Parkettierung aus zwei Rauten gefunden, die ebenfalls die Ebene lückenlos ausfüllen. Im Gegensatz zu den anderen Arten der Parkettierung wiederholt sich das Muster aber an keiner Stelle.

Über diese besondere Parkettierung gibt es auch einen Film, den Sie bei uns kostenlos online anschauen können: In „The Penrose Tesselation“ wird in ca. 15 Minuten visualisiert, wie die aperiodische Penrose-Parkettierung entsteht! .

Parkettierungen in der Kunst

Parkettierungen mit beliebigen Formen: Quadrat Parkettierungen mit beliebigen Formen: Quadrat 2 Parkettierungen mit beliebigen Formen: aus dem Sechseck konstruiert Parkettierungen mit beliebigen Formen: aus dem Sechseck konstruiert 2
Diese vier Bilder stammen aus dem Buch Bilder der Mathematik

Ausgehend von den gezeigten Parkettierungen mit Polygonen, also Vielecken, kann man Parkettierungen aus fast beliebigen Formen entwickeln. Bei Einhaltung gewisser Symmetrieregeln kann man jede gezeigte periodische Parkettierung abändern und neue Formen erzeugen:

Um eine neue Parkettierung zu erhalten, kann man die Seiten der Flächen verändern. Dabei muss darauf geachtet werden, dass die Regelmäßigkeit erhalten bleibt. Dies erreicht man, indem die Änderung einer Kante einer Fläche punktsymmetrisch zu ihrem Mittelpunkt erfolgt.

Auch M.C. Escher beschäftigte sich mit auf diesem Weg mit den Parkettierungen der Ebene. Seine Muster bestanden oft aus Tieren oder Muscheln.



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Durch die Wiederholung eines Elements, hier ein Artist, entsteht eine regelmäßige Flächenaufteilung. Diese nennt man in der Mathematik auch Parkettierung. Auch der niederländische Künstler M.C. Escher beschäftigte sehr umfassend mit solchen Darstellungen, die von mathematischen Grundmustern abgeleitet werden.

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Bild Escherrobot (B1-Poster)
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Eine Hommage an M. C. Escher und ein neues Motiv für eine Plakatserie zu regelmäßigen Flächenaufteilungen. Aus dem Namen Escher und Roboter wird der neue Begriff Escherrobot.

Durch die Wiederholung eines Elements, des Roboters, entsteht eine regelmäßige Flächenaufteilung. Diese nennt man in der Mathematik auch Parkettierung.

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Bild Tessellation Command (B1-Poster)
Bild Tessellation Command (B1-Poster)

Eine Parkettierung, auch Tessellation genannt, bezeichnet die lückenlose und überlappungsfreie Überdeckung der Ebene mit Formen, die untereinander alle gleich sind. Ein einfaches Beispiel für eine Tessellation aus unserem Alltag sind Badezimmerkacheln bestehend aus lauter Quadraten. Hier wird statt einem Quadrat eine soldatenähnliche Figur des „Tessellation Commands“ verwendet.

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Bild Turtle Island (B1-Poster)
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Als Parkettierung oder Tessellation bezeichnet man in der Mathematik eine Überdeckung der Ebene mit Formen, die untereinander alle gleich sind, sich nicht überlappen und die Ebene lückenlos ausfüllen. Ein einfaches Beispiel für eine Tessellation aus unserem Alltag sind mit quadratischen Steinen gepflasterte Gehwege.

Hat man eine solche Parkettierung der Ebene gefunden, kann man diese zu fast beliebigen Parkettierungen abändern. Daraus können sehr künstlerische Muster und Tessellationen entstehen, siehe auch Parkettierungen in der Kunst.

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Bild Under the Sea (B1-Poster)
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Durch die Wiederholung eines Elements, hier das Seepferdchen in blau und gelb, entsteht eine regelmäßige Flächenaufteilung. Diese nennt man in der Mathematik auch Parkettierung.

Aus einfachen, regelmäßigen Parkettierungen wie beispielsweise dem Schachbrett mit dem Quadrat als Parkettierungselement kann man beliebige Parkettierungen erzeugen, wenn man ein paar einfache Regeln beachtet.

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Bild Whale Watching (B1-Poster)
Bild Whale Watching (B1-Poster)

Eine Parkettierung, auch Tessellation genannt, bezeichnet die lückenlose und überlappungsfreie Überdeckung der Ebene mit Formen, die untereinander alle gleich sind. Ein einfaches Beispiel für eine Tessellation aus unserem Alltag sind Badezimmerkacheln bestehend aus lauter Quadraten.

Diese und weitere regelmäßige Parkettierungen der Ebene kann man durch symmetrische Veränderungen der Elemente zu beliebigen Parkettierungen abändern, sodass sehr künstlerische Muster und Tessellationen entstehen, siehe auch Parkettierungen in der Kunst.

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