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Orientierung


Die Orientierung ist ein Begriff aus der linearen Algebra und der Differentialgeometrie und ist ein Begriff für die Ausrichtung innerhalb von einem Bezugsrahmen.

Anschaulich gibt es zwei mögliche Orientierungen, ein Wechsel zwischen den Orientierungen ist durch Drehungen nicht möglich. Beispiele:

  • Spiegelschrift hat eine andere Orientierung als Schrift.
  • Uhren drehen sich rechtsherum im Uhrzeigersinn und nicht linksherum.

Möbius Band Klein'sche Flasche
Das Möbiusband (rechts eingebettet in eine Klein'sche Flasche) ist nicht-orientierbar

Die Klein'sche Flasche und das Möbiusband sind Flächen aus der Differentialgeometrie, die nicht orientierbar ist. Man kann also kein „Innen“ und „Außen“ unterscheiden. Durch die Selbstdurchdringung der Klein'schen Flasche kann man jeden Punkt der Oberfläche erreichen, wenn man sich entlang der Fläche bewegt. Bei Polytopen wie einem Würfel kann man dagegen „Innen“ und „Außen“ voneinander unterschieden und beispielsweise unterschiedlich färben – dies ist bei der Klein'schen Flasche nicht möglich.



3D-Modell Klein'sche Flasche, grün (8 cm)
3D-Modell Klein'sche Flasche, grün (8 cm)

Die Klein'sche Flasche ist eine besondere mathematische Fläche. Man nennt die Klein'sche Flasche eine nicht-orientierbare Fläche, da man ihr „Innen“ und „Außen“ nicht unterscheiden kann. Ein gedrucktes Modell dieser besonderen Fläche aus dem 3D-Drucker gibt es hier in grüner Farbe.

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3D-Modell Klein'sche Flasche, rot (8 cm)
3D-Modell Klein'sche Flasche, rot (8 cm)

Die Klein'sche Flasche ist eine besondere mathematische Fläche. Man nennt die Klein'sche Flasche eine nicht-orientierbare Fläche, da man ihr „Innen“ und „Außen“ nicht unterscheiden kann. Ein gedrucktes Modell dieser besonderen Fläche aus dem 3D-Drucker gibt es hier in roter Farbe.

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Bild Das Möbiusband auf der Klein'schen Flasche (B1-Poster)
Bild Das Möbiusband auf der Klein'schen Flasche (B1-Poster)

Die Klein'sche Flasche ist eine Fläche, die nicht orientierbar ist. Man kann also kein „Innen“ und „Außen“ unterscheiden. Auf diesem Bild wird dies deutlich, indem man auf einem Streifen der aufgeschnittenen Fläche entlanggeht und nach einer Umrundung auf der „anderen Seite“ landet. Dieser Streifen ist genau das Möbiusband.

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Bild Die Boy-Fläche (B1-Poster)
Bild Die Boy-Fläche (B1-Poster)

Diese von Werner Boy gefundene Fläche ist ein Modell der projektiven Ebene. Es handelt sich also um eine Fläche mit konstanter Krümmung 1, so wie eine Kugeloberfläche. Allerdings ist die projektive Ebene wie das Möbiusband oder die Klein'sche Flasche nicht orientierbar, sie hat also nur eine Seite und kein Innen oder Außen.

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Bild Die Klein'sche Flasche (B1-Poster)
Bild Die Klein'sche Flasche (B1-Poster)

Die Klein'sche Flasche ist eine Fläche, die nicht orientierbar ist. Man kann also kein „Innen“ und „Außen“ unterscheiden. Durch die Selbstdurchdringung der Klein'schen Flasche kann man jeden Punkt der Oberfläche erreichen, wenn man sich entlang der Fläche bewegt. Die Klein'sche Flasche kann auch aus dem Möbiusband konstruiert werden.

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