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Königsberger Brückenproblem


Das Königsberger Brückenproblem ist eine mathematische Fragestellung des frühen 18. Jahrhunderts, dass schließlich von Leonhard Euler gelöst werden konnte. Diese Problem ist exemplarisch für die Eigenschaften und Methoden der Graphentheorie.

Das Problem: Sieben Brücken

Die Stadt Königsberg, die vom Fluss Pregel durchflossen wird, ist durch ihn in mehrere Abschnitte geteilt, die durch sieben verschiedene Brücken miteinander verbunden sind.

Das Problem bestand nun darin zu klären, ob es einen Weg gibt, bei dem man alle sieben Brücken genau einmal überquert. Falls ja, interessierte man sich außerdem dafür, ob auch ein Rundweg möglich ist, bei dem man wieder zu seinem Ausgangspunkt zurückkommt.

Königsberger Brückenproblem: Wie kommt man über alle Brücken genau einmal? Königsberger Brückenproblem: Gibt es überhaupt eine Lösung? Königsberger Brückenproblem: Wann gibt es einen Weg, wann nicht?
Szenen aus dem Film „Die Geschichte der Mathematik: Bis zur Unendlichkeit und weiter“, in dem auch die Entwicklung neuer mathematischer Teilgebiete wie der Graphentheorie thematisiert wird.

Die Lösung: Eulers Beweis

Wie Leonhard Euler 1736 bewies, war ein solcher Weg in Königsberg nicht möglich. Er konnte seine Annahme sogar beweisen und führte dazu an, dass zu allen Ufergebieten bzw. Inseln eine ungerade Zahl von Brücken führte. Da es außerdem eine ungerade Anzahl von Inseln bzw. Ufern gab (nämlich ebenfalls drei), konnte er zeigen, dass man nie alle Brücken genau einmal überschreiten kann.

Der Beweis: Graphentheorie

Das Brückenproblem ist kein klassisches geometrisches Problem, da es nicht auf die präzise Lage der Brücken ankommt, sondern nur darauf, welche Brücke welche Inseln bzw. Ufer miteinander verbindet. Es handelt sich deshalb um ein topologisches Problem, das Euler mit Methoden löste, die wir heute der Graphentheorie zurechnen.

Dazu kann man Königsberg und seine Brücken zu einem Graphen abstrahieren. Die einzelnen Inseln und Uferteile werden zu Knoten des Graphen und die sie verbindenden Brücken zu sogenannten Kanten. Den so entstandenen Graphen kann man nun untersuchen und stellt fest:

  • Es dürfte maximal zwei Ufer (Knoten) mit einer ungeraden Zahl von angeschlossenen Brücken (Kanten) geben.
  • Diese zwei Ufer könnten Ausgangs- bzw. Endpunkt sein.
  • Die restlichen Ufer müssten eine gerade Anzahl von Brücken haben, um sie auch wieder verlassen zu können.

Da dies gerade nicht der Fall ist und es eine ungerade Anzahl von Verbindungsbrücken gibt, kann man schließen, dass es keinen Weg gibt, bei dem man alle Brücken genau einmal benutzt.

Daher gibt es erst recht keinen Rundweg. Solche Wege aber, bei denen man dort ankommt, wo man gestartet ist, nennen wir heute „Eulersche Wege“.

Mehr zu Euler im Film „Leonhard Euler – Im Paradies der Gelehrten“ (mit Online-Trailer). Dort wird sein außergewöhnliches Leben und seine einflussreichen Arbeiten vorgestellt.



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