Klein'sche Flasche


Die Klein'sche Flasche ist eine besondere mathematische Fläche. Man nennt die Klein'sche Flasche eine nicht-orientierbare Fläche, da man ihr „Innen“ und „Außen“ nicht unterscheiden kann.

Stellt man sich einen Würfel mit seinen sechs Flächen vor, so kann man auch Innen und Außen unterscheiden. Genauer gesagt unterscheiden wir die Punkte, die innen liegen – im Würfel – und die Punkte, die außen liegen – außerhalb des Würfels. Der Würfel ist daher orientierbar.

Bei der Klein'schen Flasche ist das nun anders. Beginnt man an einem Punkt auf der Flasche und folgt der Fläche, so erreicht man alle Punkte der Fläche, auch die auf der anderen Seite des Startpunktes. Die Klein'sche Flasche ist daher nicht orientierbar.

Die Klein'sche Flasche ist nach dem deutschen Mathematiker Felix Klein benannt, der diese Fläche um 1882 zum ersten Mal beschrieben hat.

Man kann sich den Unterschied auch vorstellen, wenn man versucht, die Außen- und Innenflächen unterschiedlich anzumalen. Bei einem Würfel brauche ich zwei Farben: eine für Außen, eine für Innen. Beginnt man damit, die Klein'sche Flasche anzumalen, wird man feststellen, dass man mit nur einer Farbe beide Seiten, also alle Punkte der Fläche, anmalen kann.

Grund dafür ist die besondere Konstruktion der Fläche und vor allem die Selbstdurchdringung.

Konstruktion der Klein'schen Flasche
Zur Konstruktion der nicht-orientierbaren Klein'schen Flasche mit Selbstdurchdringung. Quelle: Buch "Bilder der Mathematik"

Übrigens: Die Bezeichnung „Klein'sche Flasche“ ist aus einem Übersetzungsfehler entstanden. Das Wort „Fläche“ wurde bei der Übersetzung ins Englische fälschlicherweise als „Flasche“ gelesen. So wurde die „Klein'sche Fläche“ zur „Klein bottle“ und bei der Rückübersetzung ins Deutsche zur „Klein'schen Flasche“.

Die Klein'sche Flasche kann auch aus dem Möbiusband konstruiert werden.



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