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Hyperbolische Geometrie


Die hyperbolische Geometrie ist ein bekanntes Beispiel für nicht-euklidische Geometrie. Sie weicht also ab von der uns vertrauten, anschaulichen euklidischen Geometrie des dreidimensionalen Raumes. Genauer gesagt gilt hier nicht das Parallelenaxiom: In der hyperbolischen Geometrie gibt es zu einer Geraden g und einem Punkt P mindestens zwei weitere Geraden, die durch P gehen und zu g parallel sind.

Quelle: Tomruen, Wikimedia Commons, Lizenz gemeinfrei
Parkettierung einer hyperbolischen Ebene mit Quadraten. An den Ecken treffen dabei mehr als vier Flächen zusammen.

Es gibt verschiedene Modelle, die die hyperbolische Ebene in die euklidische Ebene einbetten, also für uns veranschaulichen. Eines der bekanntesten Modelle ist wohl das Poincaré'sche Scheibenmodell, das eine isometrische Abbildung der hyperbolischen Ebene in den zweidimensionalen euklidischen Raum darstellt.

Auch M.C. Escher beschäftigte sich mit der hyperbolischen Geometrie. Er war fasziniert von dieser anderen Darstellung der Welt und zeichnete viele Werke, in denen er die hyperbolische Ebene erkundete.



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„Die Geschichte der Mathematik“ ist eine Produktion der BBC mit Marcus du Sautoy. In insgesamt vier Kapiteln wird die Geschichte der Mathematik von der Entdeckung der Null bis zur Veröffentlichung der Millenium-Probleme verfolgt. Marcus du Sautoy begleitet uns bei der Entwicklung der Mathematik vom alten Ägypten bis heute.

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Bild Die idealen Polyeder des hyperbolischen Raumes (B1-Poster)
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Das Bild zeigt die vier idealen Polyeder des hyperbolischen Raumes, d.h. diejenigen regulären Körper, die den hyperbolischen Raum pflastern können.

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Bild Modelle der hyperbolischen Ebene (B1-Poster)
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Das Bild zeigt verschiedene Modelle der hyperbolischen Ebene, u.a. das Poincaré-Modell.

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