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Domain Coloring


Domain Coloring (dt. etwa „Gebietseinfärbung“) ist eine Technik zum Visualisieren einer komplexwertigen Funktion. Dabei wählt man ein geeignetes Farbschema, das auf der ganzen komplexen Ebene definiert ist und wertet die Funktion auf einem vorgegebenen Teilbereich – der Domain – aus.

Exploring Complex Functions using Domain Coloring
Beispiel für ein Domain Coloring

Nun färbt man jeden Pixel der Domain entsprechend der Farbe ein, die das Farbschema dem Funktionswert der Funktion an dieser Stelle zuweist. Somit ist es möglich, den Werte- und Definitionsbereich der Funktion in einem einzigen Bild gleichzeitig darzustellen. Traditionelle Funktionsgraphen, wie wir sie aus der Schule kennen, leisten dies nicht, da sie in einem vierdimensionalen Koordinatensystem leben würden.

Der Farbton des Domain Colorings entspricht dabei dem komplexen Argument des Funktionswertes, während die Helligkeit seinen Betrag darstellt.



Buch Bilder der Mathematik
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Bild Domain Coloring: Algebra und Geometrie (B1-Poster)
Bild Domain Coloring: Algebra und Geometrie (B1-Poster)

Das Bild zeigt ein Domain Coloring einer sogenannten meromorphen komplexen Funktion mit symmetrischen Pol- und Nullstellen. Diese sind durch die weißen Bereiche für Polstellen bzw. durch schwarze Bereiche für Nullstellen gekennzeichnet.

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Bild Domain Coloring: Eine meromorphe Funktion (B1-Poster)
Bild Domain Coloring: Eine meromorphe Funktion (B1-Poster)

Das Bild zeigt ein Domain Coloring einer sogenannten meromorphen komplexen Funktion mit jeweils einer einfachen und einer doppelten Null- bzw. Polstelle. Diese sind durch die weißen Bereiche für Polstellen bzw. durch schwarze Bereiche für Nullstellen gekennzeichnet. Diese meromorphen Funktionen sind Quotienten zweier komplexer Polynome und somit sehr elementare mathematische Objekte.

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Bild Domain Coloring: Wesentliche Singularitäten (B1-Poster)
Bild Domain Coloring: Wesentliche Singularitäten (B1-Poster)

Das Bild zeigt das Domain Coloring einer sehr irregulären komplexen Funktion. Das mathematische Gebiet der Funktionentheorie beschäftigt sich mit den Eigenschaften und der Theorie solcher Funktionen. Hier abgebildet ist eine Funktion mit vielen sogenannten wesentlichen Singularitäten. Diese besonderen Stellen, an denen die Funktion eine Art Polstelle aufweist, sind im Domain Coloring durch die weißen Bereiche gekennzeichnet.

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Bild Exploring Complex Functions using Domain Coloring (B1-Poster)
Bild Exploring Complex Functions using Domain Coloring (B1-Poster)

In der diesjährigen International Science & Engineering Visualization Challenge, die jedes Jahr von der National Science Foundation und dem Wissenschaftsmagazin „Science“ veranstaltet wird, wurde dieses Bild „Exploring Complex Functions using Domain Coloring“ mit einem Honorable-Mention-Preis prämiert – der höchste Preis, der dieses Jahr in der Illustration-Kategorie vergeben wurde.

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