Die Zahlentheorie ist ein Teilgebiet der Mathematik, das sich im weitesten Sinn mit den Eigenschaften der Zahlen beschäftigt. Dazu gehören Probleme wie die Teilbarkeit von Zahlen, Verteilung von Primzahlen, Primfaktorzerlegungen und die algebraische Zahlentheorie, die sich mit sogenannten Zahlkörpern beschäftigt. Zahlentheorie ist auch die Grundlage für die Kryptographie, also für die Verschlüsselung von Informationen.
Teilgebiete der Zahlentheorie
Elementare Zahlentheorie und Arithmetik
Schon in der Antike hat man sich Gedanken über bestimmte Eigenschaften von Zahlen gemacht. Insbesondere Primzahlen und die Teilbarkeit von Zahlen wurden intensiv untersucht.
Primzahlen im Bereich von 1 bis 100: Alle Primzahlen sind orange gekennzeichnet
Auch heute noch wird im Bereich der Zahlentheorie viel geforscht. Beispielsweise werden immer größere Primzahlen gefunden. Schon Euklid konnte um 300 v. Chr. beweisen, dass es keine größte Primzahl gibt. Auch die Zerlegung von sehr großen Zahlen in ihre Primfaktoren ist ein wichtiges Forschungsgebiet. Insbesondere für die Kryptografie werden die dort gewonnen Erkenntnisse genutzt. Auch die Verteilung der Primzahlen, also ihr Vorkommen unter allen Zahlen, ist ein Forschungsthema.
Analytische Zahlentheorie
In der analytischen Zahlentheorie benutzt man Methoden aus der Analysis und der Funktionentheorie, um zahlentheoretische Probleme zu bearbeiten. Charakteristisch für die analytische Zahlentheorie sind Probleme zu Abschätzungen, Summen oder auch zur Transzendenz von Zahlen.
Algebraische Zahlentheorie
Bei der algebraischen Zahlentheorie beschäftigt man sich mit Zahlen, die Nullstellen von Polynomen sind. Besonders die diophantischen Gleichungen spielen eine große Rolle. Dabei betrachtet man Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten und sucht ganzzahlige Lösungen.
Beispiel für eine diophantische Gleichung
Pierre de Fermat hat im 17. Jahrhundert eine Vermutung aufgestellt, die als der große fermatsche Satz bekannt ist. Diese besagt, dass für die oben gezeigte Gleichung keine Lösung existiert, wenn n größer als 2 ist. Seine Vermutung konnte erst vor einigen Jahren von Andrew Wiles bewiesen werden. Dieser Beweis und seine Entdeckung ist Thema des Films „Fermats Last Tango”.
Einige berühmte Zahlentheoretiker
Zahlentheorie bei vismath
Blog-Artikel: Paul Erdős
26.03.2015 –
Paul Erdős gilt mit mehr als 1.300 Veröffentlichungen als der produktivste Mathematiker aller Zeiten. Seine Arbeit war stets geprägt von dem Streben nach besonders schönen und eleganten Beweisen.
Erfahren Sie mehr über Paul Erdős, ein rastloses Genie, der sein Leben damit verbrachte, von der Natur gegebene Rätsel zu lösen.
Blog-Artikel: David Hilbert
23.01.2014 –
Hilbert war ein angesehener Mathematiker und beschäftigte sich viel mit der Bedeutung der Mathematik und der Wissenschaften in der Welt. Als er 1900 gebeten wurde, auf dem zweiten internationalen Mathematikerkongress zu sprechen, nutzte er die Gelegenheit, um eine Liste zu lösender Probleme vorzustellen. Dank Hilberts Popularität führten die 23 Hilbert'schen Probleme dazu, dass sich Mathematiker der ganzen Welt mit ihnen beschäftigten. So gelang es Hilbert, die Entwicklung der Mathematik des 20. Jahrhunderts maßgeblich zu beeinflussen.
Blog-Artikel: Bernhard Riemann
17.09.2013 –
Bernhard Riemann war einer der bedeutendsten Mathematiker des 19. Jahrhunderts. Er zählt zu den Begründern der Funktionentheorie und der Riemann'schen Geometrie, einem Teilgebiet der Differentialgeometrie. Mit seinen vielfältigen Arbeiten lieferte er zahlreiche wichtige Beiträge zur Mathematik seiner Zeit. Am bekanntesten ist wohl die noch heute unbewiesene Riemann-Hypothese, die er 1859 formulierte.
Erfahren Sie mehr über Bernhard Riemann.
Blog-Artikel: Henri Poincaré
29.04.2012 –
Henri Poincaré war ein französischer Mathematiker. Er gilt als Begründer der algebraischen Topologie und beschäftigte sich auch mit der Zahlentheorie, theoretischen Physik und Philosophie.
Anlässlich seines 158. Geburtstags werfen wir heute einen Blick auf sein Leben und Wirken.
Buch: Der Goldene Schnitt
Der Goldene Schnitt hat seit Jahrtausenden in der Mathematik und in der Kunst eine glänzende Rolle gespielt. Dieses Buch beleuchtet die schönsten Seiten des Goldenen Schnittes.
Zunächst werden sowohl die Verbindungen zur Geometrie als auch die Zusammenhänge mit der Zahlentheorie dargestellt. Nicht zuletzt werden die Verknüpfungen des Goldenen Schnittes mit der Natur und zur Kunst behandelt.
Buch: Die Musik der Primzahlen
Primzahlen sind der Heilige Gral der Mathematik und ebenso rätselhaft. Es gibt unendlich viele und es gibt bis heute keine Formel, mit der man ihr Auftreten berechnen kann. Für die moderne Technologie sind sie unverzichtbar. Jede einzelne Kontenbewegung, jeder Banktransfer, der gesamte Internethandel sind vorrangig durch Codes geschützt, die auf Primzahlen beruhen. Die Suche nach der Formel hat schon vielen Menschen zum Ruhm oder zum Wahnsinn verholfen.
Buch: Fermats letzter Satz
„Dieses Buch ist ein Wunder.“ – Süddeutsche Zeitung
Der Satz des Pythagoras: a²+b²=c² steht im Zentrum des Rätsels, um das es hier geht. Diese „Urformel“ gilt immer und überall, aber nur in der Zweier-Potenz, mit keiner anderen ganzen Zahl. In den Notizen des französischen Mathematikers Pierre Fermat, der im 17. Jahrhundert lebte, gibt es einen Hinweis, dass er den Beweis für dieses Phänomen gefunden hat. Doch der Beweis selbst ist verschollen...
Film: 21
Während einer Vorlesung am MIT erläutert der begabte Mathematikstudent Ben seinem Mathematikprofessor Micky Rosa die beste Strategie für das sogenannte Ziegenproblem. Damit macht er diesen unbeabsichtigt auf sich und sein Talent aufmerksam, denn Rosa leitet ein Team von jungen Mathematikern, das in Las Vegas beim Black Jack durch Kartenzählen die Casinos regelrecht ausnimmt.
Film: A Beautiful Mind
Dieser Film basiert lose auf dem Leben des Mathematikers John Nash. Der Film begleitet den jungen Nash während seiner Studienzeit in Princeton und schnell wird klar, dass er ein hochbegabter Einzelgänger ist. Anstatt Vorlesungen zu besuchen, ist er auf der Suche nach der Weltformel, um in die Geschichte einzugehen...
Film: Art and Mathematics: Labyrinths
Aus der Reihe „Kunst und Mathematik“: Labyrinthe.
Schon im griechischen Mythos vom Minotauros sind Labyrinthe wesentlicher Bestandteil der Geschichte. Die Gestalt mit menschlichem Körper und Stierkopf wurde als in einem Labyrinth in Knossos gefangen gehalten. Und auch Mosaike in Pompeji – einer immerhin 2.000 Jahre alten Stadt – zeigen Labyrinthe.
Dieser Film zeigt, was Menschen seit Jahrtausenden daran fasziniert und wie man Labyrinthe mathematisch und sogar musikalisch beschreiben kann.
Film: Cube
Eine Gruppe von Fremden findet sich eines Tages in einer bizarren Würfelkonstruktion wieder und versucht sich zu befreien. Obwohl sie nicht wissen, warum und von wem sie eingesperrt wurden und wer versucht, sie mit Hilfe tödlicher Fallen umzubringen, kämpfen sich die Fünf durch die einzelnen Würfelteile, um den Ausgang aus dieser gefährlichen Konstruktion zu finden. Wird es einer der unfreiwilligen Insassen schaffen, den tödlichen Cube zu verlassen?
Film: Enigma
„Enigma“ dreht sich um die Bemühungen der Briten während des zweiten Weltkrieges, die U-Boot-Funksprüche der deutschen Wehrmacht zu entschlüsseln. Der britische Mathematiker Tom Jericho muss nicht nur mit seinem Team die neuen Verschlüsselungsalgorithmen der Deutschen durchschauen, sondern sucht auch nach seiner verschwundenen Freundin Claire. Die wird verdächtigt, eine Spionin zu sein, doch Tom glaubt an eine Verschwörung. Er entdeckt auch bald die ersten Spuren...
Mit Trailer
Film: Fermat's Last Tango
Basierend auf der wahren Geschichte von Andrew Wiles verfolgen wir in diesem Musical den Mathematiker Daniel Keane. Er präsentiert der Öffentlichkeit seinen Beweis zu Fermat's letztem Satz. Bald darauf aber muss er feststellen, dass dieser Lücken enthält. Als ihn schließlich der Geist von Fermat heimsucht, beginnt eine aufregende Jagd nach dem vollständigen Beweis.
Schauen Sie sich den Trailer zum Film an!
Film: Fermat's Room
Vier Mathematiker erhalten von einem Mann, der sich „Fermat“ nennt, eine mysteriöse Einladung zu einem gemeinsamen Treffen. Als sie schließlich in einem abgeschiedenen Haus zusammentreffen, erhalten sie über einen Computer mathematische Rätsel, die gemeinsam gelöst werden sollen. Schon bald stellen sie fest, dass sie eingeschlossen wurden. Aber nicht nur das: Als sie eines der Rätsel nicht rechtzeitig lösen können, bemerken sie, dass sich die Wände des Raumes langsam aber sicher auf sie zu bewegen...
Film: Hotel Hilbert
Fiona Knight ist auf der Suche nach einem Hotelzimmer. Sie versucht ihr Glück im „Infinit Hotel“, in dem schon alle Zimmer belegt sein sollen. Das bestätigt ihr dann auch der Hotelchef – nur um im gleichen Atemzug zu verkünden, dass aber auch immer genug Zimmer für alle neuen Gäste frei wären.
Lassen Sie sich mit Hilberts Hotel entführen und entdecken Sie die Welt der Unendlichkeit mit ihren Paradoxien und verblüffenden Erklärungen.
Film: Julia Robinson and Hilbert's Tenth Problem
In dieser Dokumentation lernen wir die Mathematikerin Julia Robinson (1919 – 1985) kennen, die ihr Leben lang von der Mathematik fasziniert war und entscheidende Beiträge zur Lösung von Hilbert's zehntem Problem lieferte.
Film: N is a Number
Ein Mann ohne Heimat und ohne Festanstellung: Paul Erdős war einer der produktivsten Mathematiker, der je gelebt hat. Mehr als 1.300 veröffentlichte Paper tragen seinen Namen. Ein rastloses Genie, der sein Leben damit verbrachte, von der Natur gegebene Rätsel zu lösen. In „N is a Number“ wird Paul Erdős portraitiert.
Film: Numbers
Wir wenden jeden Tag Mathematik an. Manchmal bewusst, manchmal unbewusst. Und auch wenn uns Ereignisse zufällig erscheinen mögen – meist verbirgt sich gerade hinter Verbrechen ein mathematisches Muster. Die amerikanische Erfolgsserie Numbers (auch NUMB3RS) erzählt von zwei ungleichen Brüdern: dem FBI-Agenten Don und dem mathematisch hochbegabten Charlie. Sie nutzen die Mathematik, um gemeinsam Kriminalfälle zu untersuchen und aufzuklären.
Film: Porridge, Pulleys and Pi
Zwei Mathematiker, die unterschiedlicher nicht sein könnten. Und trotzdem sind sie verbunden durch die Leidenschaft zur gleichen Wissenschaft, der Mathematik.
Dieser Film begleitet Vaughan Jones und Hendrik Lenstra. Bei beiden spiegelt sich der persönliche Stil in ihrer Art, mit Mathematik zu arbeiten, wieder. So beschäftigt sich Lenstra mit Zahlentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, das schon in der Antike untersucht wurde. Jones dagegen hat sich auf einem Feld spezialisiert, das zur Lösung der Funktionsweise der Natur beiträgt. Mit Trailer.
Film: Reason for Math Volume 1: The Language of Math
Dieser Film behandelt mathematische Themen aus den Klassenstufen 3 bis 5 und ist in englisch.
„Reason for Math“ zeigt grundlegende Konzepte, mit denen auch Jugendliche und Erwachsene immer noch Probleme haben. Ein sehr gutes Verständnis von mathematischen Grundlagen sollte für jeden ein Muss sein.
Film: Sneakers
Martin „Marty“ Bishop und sein Team arbeiten als Sicherheitsberater. Im Auftrag von Banken versuchen sie, deren Sicherheitssysteme zu überlisten. Eines Tages erhält Martys Team einen Auftrag der Nationalen Sicherheitsbehörde (NSA) und stiehlt einen geheimnisvollen Kasten von einem Mathematiker. Doch als dieser kurze Zeit später ermordet wird, befinden sich auch Marty und sein Team in größter Gefahr, denn der Auftrag kam nicht von echten NSA-Agenten...
Film: Teresa's Tattoo
Die begabte Mathematikstudentin Teresa wird von ihrem Mentor dazu überredet, ihn auf eine Party zu begleiten, anstatt immer nur zu lernen. Eine Gruppe Gangster und ihr Boss Carl haben jedoch noch ganz andere Pläne mit Teresa.
Eine erheiternde Verfolgungsjagd um codierte Informationen, moderiert von einem witzigen Erzähler aus dem Off.