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Zahlentheorie


Die Zahlentheorie ist ein Teilgebiet der Mathematik, das sich im weitesten Sinn mit den Eigenschaften der Zahlen beschäftigt. Dazu gehören Probleme wie die Teilbarkeit von Zahlen, Verteilung von Primzahlen, Primfaktorzerlegungen und die algebraische Zahlentheorie, die sich mit sogenannten Zahlkörpern beschäftigt. Zahlentheorie ist auch die Grundlage für die Kryptographie, also für die Verschlüsselung von Informationen.

Teilgebiete der Zahlentheorie

Elementare Zahlentheorie und Arithmetik

Schon in der Antike hat man sich Gedanken über bestimmte Eigenschaften von Zahlen gemacht. Insbesondere Primzahlen und die Teilbarkeit von Zahlen wurden intensiv untersucht.

Mathematische Gebiete: Zahlentheorie. Verteilung der Primzahlen bis 100. Orange markierte Zahlen sind Primzahlen.
Primzahlen im Bereich von 1 bis 100: Alle Primzahlen sind orange gekennzeichnet

Auch heute noch wird im Bereich der Zahlentheorie viel geforscht. Beispielsweise werden immer größere Primzahlen gefunden. Schon Euklid konnte um 300 v. Chr. beweisen, dass es keine größte Primzahl gibt. Auch die Zerlegung von sehr großen Zahlen in ihre Primfaktoren ist ein wichtiges Forschungsgebiet. Insbesondere für die Kryptografie werden die dort gewonnen Erkenntnisse genutzt. Auch die Verteilung der Primzahlen, also ihr Vorkommen unter allen Zahlen, ist ein Forschungsthema.

Analytische Zahlentheorie

In der analytischen Zahlentheorie benutzt man Methoden aus der Analysis und der Funktionentheorie, um zahlentheoretische Probleme zu bearbeiten. Charakteristisch für die analytische Zahlentheorie sind Probleme zu Abschätzungen, Summen oder auch zur Transzendenz von Zahlen.

Algebraische Zahlentheorie

Bei der algebraischen Zahlentheorie beschäftigt man sich mit Zahlen, die Nullstellen von Polynomen sind. Besonders die diophantischen Gleichungen spielen eine große Rolle. Dabei betrachtet man Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten und sucht ganzzahlige Lösungen.

Mathematische Gebiete: Zahlentheorie. Eine allgemeine diophantische Gleichung, zu der man nun ganzzahlige Lösungen sucht.
Beispiel für eine diophantische Gleichung

Pierre de Fermat hat im 17. Jahrhundert eine Vermutung aufgestellt, die als der große fermatsche Satz bekannt ist. Diese besagt, dass für die oben gezeigte Gleichung keine Lösung existiert, wenn n größer als 2 ist. Seine Vermutung konnte erst vor einigen Jahren von Andrew Wiles bewiesen werden. Dieser Beweis und seine Entdeckung ist Thema des Films „Fermats Last Tango”.

Einige berühmte Zahlentheoretiker

  • Euklid
  • Leonhard Euler
  • Carl Friedrich Gauß
  • Paul Erdős
  • Bernhard Rieman
  • Pierre de Fermat


DVD Numbers Staffeln 1- 3
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Wir wenden jeden Tag Mathematik an. Manchmal bewusst, manchmal unbewusst. Und auch wenn uns Ereignisse zufällig erscheinen mögen – meist verbirgt sich gerade hinter Verbrechen ein mathematisches Muster. Die amerikanische Erfolgsserie Numbers (auch NUMB3RS) erzählt von zwei ungleichen Brüdern: dem FBI-Agenten Don und dem mathematisch hochbegabten Charlie. Sie nutzen die Mathematik, um gemeinsam Kriminalfälle zu untersuchen und aufzuklären.

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Die Reihe „Art and Mathematics“ ist eine Sammlung von Kurzfilmen zum Thema Kunst und Mathematik. Auf jeder der DVDs sind 4 Kurzfilme enthalten. Einen kleinen Überblick über die Themen gibt es hier.

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DVD Porridge, Pulleys and Pi
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Zwei Mathematiker, die unterschiedlicher nicht sein könnten. Und trotzdem sind sie verbunden durch die Leidenschaft zur gleichen Wissenschaft, der Mathematik.

Dieser Film begleitet Vaughan Jones und Hendrik Lenstra. Bei beiden spiegelt sich der persönliche Stil in ihrer Art, mit Mathematik zu arbeiten, wieder. So beschäftigt sich Lenstra mit Zahlentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, das schon in der Antike untersucht wurde. Jones dagegen hat sich auf einem Feld spezialisiert, das zur Lösung der Funktionsweise der Natur beiträgt. Mit Trailer.

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DVD Cube – Bild 1
DVD Cube – Bild 2
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Eine Gruppe von Fremden findet sich eines Tages in einer bizarren Würfelkonstruktion wieder und versucht sich zu befreien. Obwohl sie nicht wissen, warum und von wem sie eingesperrt wurden und wer versucht, sie mit Hilfe tödlicher Fallen umzubringen, kämpfen sich die Fünf durch die einzelnen Würfelteile, um den Ausgang aus dieser gefährlichen Konstruktion zu finden. Wird es einer der unfreiwilligen Insassen schaffen, den tödlichen Cube zu verlassen?

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Dieser Film behandelt mathematische Themen aus den Klassenstufen 3 bis 5 und ist in englisch.

„Reason for Math“ zeigt grundlegende Konzepte, mit denen auch Jugendliche und Erwachsene immer noch Probleme haben. Ein sehr gutes Verständnis von mathematischen Grundlagen sollte für jeden ein Muss sein.

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Die Eigenschaften und Eigenheiten der Primzahlen beschäftigen die Menschheit schon seit ihrer Entdeckung. Jede nicht-prime Zahl lässt sich als Produkt von Primzahlen ausdrücken. Primzahlen sind also die Bausteine aller Zahlen.

In dieser dreiteiligen Reihe nimmt uns Marcus du Sautoy mit auf eine Reise in die Welt der Primzahlen. Ihre weitreichenden Auswirkungen und Verwicklungen in andere Wissenschaften sind bis heute verblüffend. Nicht umsonst ist für den Beweis der Riemann-Vermutung ein Preisgeld von 1 Million Dollar angesetzt.

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Dieser Film beleuchtet die historische Entwicklung der Mathematik im Mittelalter. In den zwei Teilen „Orient“ und „Okzident“ werden die Entwicklung und Zusammenhänge von Mathematik und Kulturgeschichte zur Zeit des Mittelalters (ca. 500 - 1500 n. Chr.) betrachtet. Der Fortschritt der Wissenschaften wird anschaulich in historischem Kontext erläutert.

Für Schüler ab Klasse 9 geeignet. Im beiliegenden Begleitheft werden Aufgaben aus dem Film erläutert und historische Zusammenhänge erklärt.

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Buch Die Musik der Primzahlen
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Primzahlen sind der Heilige Gral der Mathematik und ebenso rätselhaft. Es gibt unendlich viele und es gibt bis heute keine Formel, mit der man ihr Auftreten berechnen kann. Für die moderne Technologie sind sie unverzichtbar. Jede einzelne Kontenbewegung, jeder Banktransfer, der gesamte Internethandel sind vorrangig durch Codes geschützt, die auf Primzahlen beruhen. Die Suche nach der Formel hat schon vielen Menschen zum Ruhm oder zum Wahnsinn verholfen.

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„Die Geschichte der Mathematik“ ist eine Produktion der BBC mit Marcus du Sautoy. In insgesamt vier Kapiteln wird die Geschichte der Mathematik von der Entdeckung der Null bis zur Veröffentlichung der Millenium-Probleme verfolgt. Marcus du Sautoy begleitet uns bei der Entwicklung der Mathematik vom alten Ägypten bis heute.

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„Enigma“ dreht sich um die Bemühungen der Briten während des zweiten Weltkrieges, die U-Boot-Funksprüche der deutschen Wehrmacht zu entschlüsseln. Der britische Mathematiker Tom Jericho muss nicht nur mit seinem Team die neuen Verschlüsselungsalgorithmen der Deutschen durchschauen, sondern sucht auch nach seiner verschwundenen Freundin Claire. Die wird verdächtigt, eine Spionin zu sein, doch Tom glaubt an eine Verschwörung. Er entdeckt auch bald die ersten Spuren...

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Während einer Vorlesung am MIT erläutert der begabte Mathematikstudent Ben seinem Mathematikprofessor Micky Rosa die beste Strategie für das sogenannte Ziegenproblem. Damit macht er diesen unbeabsichtigt auf sich und sein Talent aufmerksam, denn Rosa leitet ein Team von jungen Mathematikern, das in Las Vegas beim Black Jack durch Kartenzählen die Casinos regelrecht ausnimmt.

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Dieser Film basiert lose auf dem Leben des Mathematikers John Nash. Der Film begleitet den jungen Nash während seiner Studienzeit in Princeton und schnell wird klar, dass er ein hochbegabter Einzelgänger ist. Anstatt Vorlesungen zu besuchen, ist er auf der Suche nach der Weltformel, um in die Geschichte einzugehen...

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