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Zahlentheorie


Die Zahlentheorie ist ein Teilgebiet der Mathematik, das sich im weitesten Sinn mit den Eigenschaften der Zahlen beschäftigt. Dazu gehören Probleme wie die Teilbarkeit von Zahlen, Verteilung von Primzahlen, Primfaktorzerlegungen und die algebraische Zahlentheorie, die sich mit sogenannten Zahlkörpern beschäftigt. Zahlentheorie ist auch die Grundlage für die Kryptographie, also für die Verschlüsselung von Informationen.

Teilgebiete der Zahlentheorie

Elementare Zahlentheorie und Arithmetik

Schon in der Antike hat man sich Gedanken über bestimmte Eigenschaften von Zahlen gemacht. Insbesondere Primzahlen und die Teilbarkeit von Zahlen wurden intensiv untersucht.

Mathematische Gebiete: Zahlentheorie. Verteilung der Primzahlen bis 100. Orange markierte Zahlen sind Primzahlen.
Primzahlen im Bereich von 1 bis 100: Alle Primzahlen sind orange gekennzeichnet

Auch heute noch wird im Bereich der Zahlentheorie viel geforscht. Beispielsweise werden immer größere Primzahlen gefunden. Schon Euklid konnte um 300 v. Chr. beweisen, dass es keine größte Primzahl gibt. Auch die Zerlegung von sehr großen Zahlen in ihre Primfaktoren ist ein wichtiges Forschungsgebiet. Insbesondere für die Kryptografie werden die dort gewonnen Erkenntnisse genutzt. Auch die Verteilung der Primzahlen, also ihr Vorkommen unter allen Zahlen, ist ein Forschungsthema.

Analytische Zahlentheorie

In der analytischen Zahlentheorie benutzt man Methoden aus der Analysis und der Funktionentheorie, um zahlentheoretische Probleme zu bearbeiten. Charakteristisch für die analytische Zahlentheorie sind Probleme zu Abschätzungen, Summen oder auch zur Transzendenz von Zahlen.

Algebraische Zahlentheorie

Bei der algebraischen Zahlentheorie beschäftigt man sich mit Zahlen, die Nullstellen von Polynomen sind. Besonders die diophantischen Gleichungen spielen eine große Rolle. Dabei betrachtet man Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten und sucht ganzzahlige Lösungen.

Mathematische Gebiete: Zahlentheorie. Eine allgemeine diophantische Gleichung, zu der man nun ganzzahlige Lösungen sucht.
Beispiel für eine diophantische Gleichung

Pierre de Fermat hat im 17. Jahrhundert eine Vermutung aufgestellt, die als der große fermatsche Satz bekannt ist. Diese besagt, dass für die oben gezeigte Gleichung keine Lösung existiert, wenn n größer als 2 ist. Seine Vermutung konnte erst vor einigen Jahren von Andrew Wiles bewiesen werden. Dieser Beweis und seine Entdeckung ist Thema des Films „Fermats Last Tango”.

Einige berühmte Zahlentheoretiker

  • Euklid
  • Leonhard Euler
  • Carl Friedrich Gauß
  • Paul Erdős
  • Bernhard Rieman
  • Pierre de Fermat


DVD Die Geschichte der Mathematik
DVD Die Geschichte der Mathematik

„Die Geschichte der Mathematik“ ist eine Produktion der BBC mit Marcus du Sautoy. In insgesamt vier Kapiteln wird die Geschichte der Mathematik von der Entdeckung der Null bis zur Veröffentlichung der Millenium-Probleme verfolgt. Marcus du Sautoy begleitet uns bei der Entwicklung der Mathematik vom alten Ägypten bis heute.

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DVD Numbers Staffeln 1- 3
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DVD Art and Mathematics Part One
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Die Reihe „Art and Mathematics“ ist eine Sammlung von Kurzfilmen zum Thema Kunst und Mathematik. Auf jeder der DVDs sind 4 Kurzfilme enthalten. Einen kleinen Überblick über die Themen gibt es hier.

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DVD Porridge, Pulleys and Pi
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Zwei Mathematiker, die unterschiedlicher nicht sein könnten. Und trotzdem sind sie verbunden durch die Leidenschaft zur gleichen Wissenschaft, der Mathematik.

Dieser Film begleitet Vaughan Jones und Hendrik Lenstra. Bei beiden spiegelt sich der persönliche Stil in ihrer Art, mit Mathematik zu arbeiten, wieder. So beschäftigt sich Lenstra mit Zahlentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, das schon in der Antike untersucht wurde. Jones dagegen hat sich auf einem Feld spezialisiert, das zur Lösung der Funktionsweise der Natur beiträgt. Mit Trailer.

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DVD Reason for Math
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Dieser Film behandelt mathematische Themen aus den Klassenstufen 3 bis 5 und ist in englisch.

„Reason for Math“ zeigt grundlegende Konzepte, mit denen auch Jugendliche und Erwachsene immer noch Probleme haben. Ein sehr gutes Verständnis von mathematischen Grundlagen sollte für jeden ein Muss sein.

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