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Wahrscheinlichkeitstheorie


Die Wahrscheinlichkeitstheorie oder Wahrscheinlichkeitsrechnung ist ein Teilgebiet der Mathematik. Gemeinsam mit der mathematischen Statistik bildet sie das Teilgebiet der Stochastik. Die Wahrscheinlichkeitstheorie handelt von der Beschreibung zufälliger Ereignisse und ihrer Modellierung.

Wichtige Definitionen

Dazu werden sogenannte Zufallsexperimente untersucht. Ausgehend von möglichen Ereignissen werden mit diesen Zufallsexperimenten einzelne Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse definiert. Oft sind nicht bestimmte einzelne Ereignisse, sondern Mengen von Ereignissen interessant.

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung

Basierend darauf können verschiedene Funktionen definiert werden, beispielsweise die Wahrscheinlichkeitsverteilung. Man unterscheidet zwischen endlichen oder diskreten Verteilungen wie der Gleichverteilung (Münzwurf, Würfeln,...) und kontinuierlichen Verteilungen. Beispiele dafür sind die Exponentialverteilung, die unter anderem den radioaktiven Zerfall über die Zeit beschreibt, oder die Normalverteilung mit dem Spezialfall der Gauß-Verteilung.

Wahrscheinlichkeitstheorie: Besondere Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Eine diskrete Verteilung wie beim Würfel- oder Münzwurf. Die Exponentialverteilung, oft bei poisson'schen Prozessen zur Vereinfachung genutzt. (Quelle: Mark Sweep, wikimedia) Die Normalverteilung, eine der wichtigsten Wahrscheinlichkeitsverteilungen. (Quelle: Grendlkhan, wikimedia)
Verschiedene Wahrscheinlichkeitsverteilungen: eine diskrete Verteilung (links), bei der nur endlich viele Ereignisse eintreffen können (nämlich 1, 3 oder 7). Dann eine exponentielle Verteilung (mittig) und verschiedene Normalverteilungen (rechts)

Die Wahrscheinlichkeitstheorie ist wie viele andere Teilgebiete der Mathematik axiomatisch auf der Mengenlehre aufgebaut. Diese drei Axiome wurden erstmals um 1930 vom russischen Mathematiker Andrei Kolmogorov aufgestellt.

Sie besagen, dass jedes Ereignis immer eine Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1 annimmt. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein beliebiges der Ereignisse eintritt, ist gleich 1. Außerdem gilt die sogenannte Sigma-Additivität für disjunkte Ereignisse.

Laplace-Experimente

Im Schulunterricht werden häufig sogenannte Laplace-Experimente untersucht. Diese spezielle Art von Zufallsexperimenten hat nur endlich viele Ergebnisse, die alle mit der gleichen Wahrscheinlichkeit eintreffen. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung solcher Ereignisse ist also immer eine diskrete Gleichverteilung.

Bekannte Beispiele für Laplace-Experimente ist der Münzwurf mit zwei möglichen, gleichwahrscheinlichen Ereignissen, nämlich „Kopf“ und „Zahl“. Ebenso das Würfeln mit sechs möglichen Ereignissen oder das Ziehen einer Karte aus einem Kartenspiel. Ausgehend davon können dann bedingte Wahrscheinlichkeiten, Verbundwahrscheinlichkeiten oder die Abhängigkeit von Ereignissen untersucht werden.



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