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Topologie


Die Topologie ist ein Teilgebiet der Mathematik und beschäftigt sich mit Verformungen von Strukturen und ihren Eigenschaften. Beispielsweise wird in der Topologie untersucht, welche Körper topologisch „gleich“ sind, also durch Verformungen wie Quetschen oder Dehnen ineinander überführt werden können.

Ein einfaches Beispiel

Topologisch gesehen sind zum Beispiel die Kugeloberfläche und die Oberfläche eines Quaders gleiche Strukturen, denn durch Drücken und Dehnen kann ich diese ineinander umformen. In der Topologie nennt man solche Strukturen dann homöomorph.

Topologie: Zwei zueinander homöomorphe Strukturen
Zwei zueinander homöomorphe Strukturen, die man durch „Drücken” ineinander überführen kann.

Ein einfaches Gegenbeispiel

Strukturen sind topologisch gesehen nicht homöomorph, wenn sie beispielsweise eine unterschiedliche Anzahl von Löchern aufweisen. Eine Kugeloberfläche (in der Mathematik „Sphäre“ genannt) hat kein Loch. Ein Donut dagegen, den man auch Torus nennt, hat ein Loch in der Mitte. Man kann nun eine Sphäre nicht nur durch Drücken in einen Torus umwandeln, dazu müsste man ein Loch erzeugen – deshalb sind diese zwei Strukturen nicht homöomorph.

Topologie: Ein Torus ist nicht homöomorph zu einer Sphäre
Der Torus ist nicht homöomorph zur Sphäre, da er ein Loch hat. Das rote Band kann nie auf einen Punkt zusammengezogen werden.

Ein Torus ist allerdings homöomorph zu einer Tasse, da beide Strukturen die gleiche Anzahl von Löchern aufweisen, nämlich eines. Wie man diese beiden Strukturen ineinander überführen kann, sieht man hier:

Animation zur Topologie: Tasse wird in Torus überführt
Torus und Tasse sind homöomorph zueinander, da man eine Verformung findet, die beide Strukturen ineinander überführt. Das Loch in der Mitte des Torus wird zum Henkel der Tasse.

Eine Anschauung: Gummibänder

Der französische Mathematiker und Topologe Henri Poincaré nutze als Anschauungsmodell für Homöomophie zwischen zwei Strukturen seine gedachten Gummibänder. Er stellte sich vor, man würde um eine Struktur ein Gummiband legen und überlegte nun, ob und wie man dieses Band auf einen Punkt zusammenziehen kann. Bei der Sphäre – und allen dazu homöomorphen Strukturen – ist das bei allen Bändern möglich. Beim Torus, also der donutförmigen Struktur, geht das nicht, denn wenn man ein Gummiband durch das Loch in der Mitte nach außen legt, kann man dieses Band nie zusammenziehen.

Topologie: Gummibänder auf einer Sphäre als Anschauung für homöomorphe Strukturen
Gummibänder auf der Kugeloberfläche (Sphäre): Jedes Band kann zu einem Punkt zusammengezogen werden

Die Poincaré-Vermutung

Henri Poincaré stellte 1904 die berühmte und nach ihm benannte Poincaré-Vermutung auf. Diese Verallgemeinert unser Beispiel von der Kugel- und Quaderoberfläche in unserem dreidimensionalen Raum auf höhere Dimensionen. Er vermutete, dass alle höherdimensionalen Strukturen ohne Loch homöomorph zur höherdimensionalen Sphäre sind. Dieses Problem ist so komplex und schwer zu beweisen, dass es über 100 Jahre gedauert hat, bis Grigori Perelmann 2003 schließlich einen vollständigen Beweis vorlegen konnte. Den Millenium-Preis mit einem Preisgeld von einer Million US-Dollar lehnte er ebenso ab wie die Fields-Medaille.



3D-Modell Klein'sche Flasche, grün (8 cm)
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Durch die Vekleinerung der Welt des Protagonisten (des alten Quadrats) auf zwei Dimensionen schärft Abbott den Blick für gesellschaftliche Schieflagen seiner und unserer Zeit.

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DVD Die Geschichte der Mathematik
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„Die Geschichte der Mathematik“ ist eine Produktion der BBC mit Marcus du Sautoy. In insgesamt vier Kapiteln wird die Geschichte der Mathematik von der Entdeckung der Null bis zur Veröffentlichung der Millenium-Probleme verfolgt. Marcus du Sautoy begleitet uns bei der Entwicklung der Mathematik vom alten Ägypten bis heute.

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Bild Das Möbiusband auf der Klein'schen Flasche (B1-Poster)
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Die Klein'sche Flasche ist eine Fläche, die nicht orientierbar ist. Man kann also kein „Innen“ und „Außen“ unterscheiden. Auf diesem Bild wird dies deutlich, indem man auf einem Streifen der aufgeschnittenen Fläche entlanggeht und nach einer Umrundung auf der „anderen Seite“ landet. Dieser Streifen ist genau das Möbiusband.

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Bild Der Petersen-Graph auf der Kreuzhaube (B1-Poster)
Bild Der Petersen-Graph auf der Kreuzhaube (B1-Poster)

Der Petersen-Graph ist ein 3-regulärer, nicht-planarer Graph, d.h. er lässt sich in der Ebene nicht überschneidungsfrei zeichnen. Auf der Kreuzhaube, einer Einbettung der projektiven Ebene, ist dies jedoch möglich. Das Bild zeigt zudem eine Einfärbung der je von fünf Knoten eingeschlossenen Flächen. Eine andere Darstellung der projektiven Ebene ohne Singularitäten ist die Boy-Fläche.

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Bild Die Boy-Fläche (B1-Poster)
Bild Die Boy-Fläche (B1-Poster)

Diese von Werner Boy gefundene Fläche ist ein Modell der projektiven Ebene. Es handelt sich also um eine Fläche mit konstanter Krümmung 1, so wie eine Kugeloberfläche. Allerdings ist die projektive Ebene wie das Möbiusband oder die Klein'sche Flasche nicht orientierbar, sie hat also nur eine Seite und kein Innen oder Außen.

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Bild Die Klein'sche Flasche (B1-Poster)
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Die Klein'sche Flasche ist eine Fläche, die nicht orientierbar ist. Man kann also kein „Innen“ und „Außen“ unterscheiden. Durch die Selbstdurchdringung der Klein'schen Flasche kann man jeden Punkt der Oberfläche erreichen, wenn man sich entlang der Fläche bewegt. Die Klein'sche Flasche kann auch aus dem Möbiusband konstruiert werden.

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Bild Geodätische Kurven auf einer Brezelwelt (B1-Poster)
Bild Geodätische Kurven auf einer Brezelwelt (B1-Poster)

Als Geodäte bezeichnet man eine Verbindung von zwei Punkten auf einer Fläche, wobei diese Verbindung keine Krümmung hat. In der euklidischen Ebene, also zum Beispiel auf einem Blatt Papier, ist die kürzeste Verbindung zweier Punkte immer die Gerade zwischen ihnen. Auf anderen, gekrümmten Flächen sehen Geodäten jedoch anders aus...

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DVD Flatland
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Nach dem Buch „Flächenland“ von Edwin A. Abbott: Flatland ist nicht die Welt, wie wir sie kennen, denn in Flatland ist alles zweidimensional, also flach. Alle Einwohner von Flatland sind Vielecke. Der soziale Rang eines Flatland-Bewohners hängt davon ab, wie viele Ecken er hat. Mehr Ecken haben heißt mehr Bedeutung in der Flatland-Gesellschaft.

Dieser animierte Film begleitet das Sechseck Hex und Arthur Square bei der Entdeckung Dimensionen, die über ihr Vorstellungsvermögen hinausgehen. Dabei müssen Sie nicht nur gegen ihre eigenen Vorstellungsgrenzen kämpfen, sondern auch gegen die unbeugsamen Herrscher über Flatland.

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Arthur C. Clarke gibt eine Einführung in die Welt der Fraktale. Wir erfahren mehr über ihre Entdeckung, ihre faszinierenden Eigenschaften und die Menschen, die sich mit Fraktalen beschäftigen. Fraktale werden erst seit wenigen Jahrzehnten eingehend untersucht und faszinieren seitdem die Wissenschaft. Verschiedene Visualisierungen zeigen die unendliche Genauigkeit der Menge und ihre natürlich anmutenden Strukturen.

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