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Topologie


Die Topologie ist ein Teilgebiet der Mathematik und beschäftigt sich mit Verformungen von Strukturen und ihren Eigenschaften. Beispielsweise wird in der Topologie untersucht, welche Körper topologisch „gleich“ sind, also durch Verformungen wie Quetschen oder Dehnen ineinander überführt werden können.

Ein einfaches Beispiel

Topologisch gesehen sind zum Beispiel die Kugeloberfläche und die Oberfläche eines Quaders gleiche Strukturen, denn durch Drücken und Dehnen kann ich diese ineinander umformen. In der Topologie nennt man solche Strukturen dann homöomorph.

Topologie: Zwei zueinander homöomorphe Strukturen
Zwei zueinander homöomorphe Strukturen, die man durch „Drücken” ineinander überführen kann.

Ein einfaches Gegenbeispiel

Strukturen sind topologisch gesehen nicht homöomorph, wenn sie beispielsweise eine unterschiedliche Anzahl von Löchern aufweisen. Eine Kugeloberfläche (in der Mathematik „Sphäre“ genannt) hat kein Loch. Ein Donut dagegen, den man auch Torus nennt, hat ein Loch in der Mitte. Man kann nun eine Sphäre nicht nur durch Drücken in einen Torus umwandeln, dazu müsste man ein Loch erzeugen – deshalb sind diese zwei Strukturen nicht homöomorph.

Topologie: Ein Torus ist nicht homöomorph zu einer Sphäre
Der Torus ist nicht homöomorph zur Sphäre, da er ein Loch hat. Das rote Band kann nie auf einen Punkt zusammengezogen werden.

Ein Torus ist allerdings homöomorph zu einer Tasse, da beide Strukturen die gleiche Anzahl von Löchern aufweisen, nämlich eines. Wie man diese beiden Strukturen ineinander überführen kann, sieht man hier:

Animation zur Topologie: Tasse wird in Torus überführt
Torus und Tasse sind homöomorph zueinander, da man eine Verformung findet, die beide Strukturen ineinander überführt. Das Loch in der Mitte des Torus wird zum Henkel der Tasse.

Eine Anschauung: Gummibänder

Der französische Mathematiker und Topologe Henri Poincaré nutze als Anschauungsmodell für Homöomophie zwischen zwei Strukturen seine gedachten Gummibänder. Er stellte sich vor, man würde um eine Struktur ein Gummiband legen und überlegte nun, ob und wie man dieses Band auf einen Punkt zusammenziehen kann. Bei der Sphäre – und allen dazu homöomorphen Strukturen – ist das bei allen Bändern möglich. Beim Torus, also der donutförmigen Struktur, geht das nicht, denn wenn man ein Gummiband durch das Loch in der Mitte nach außen legt, kann man dieses Band nie zusammenziehen.

Topologie: Gummibänder auf einer Sphäre als Anschauung für homöomorphe Strukturen
Gummibänder auf der Kugeloberfläche (Sphäre): Jedes Band kann zu einem Punkt zusammengezogen werden

Die Poincaré-Vermutung

Henri Poincaré stellte 1904 die berühmte und nach ihm benannte Poincaré-Vermutung auf. Diese Verallgemeinert unser Beispiel von der Kugel- und Quaderoberfläche in unserem dreidimensionalen Raum auf höhere Dimensionen. Er vermutete, dass alle höherdimensionalen Strukturen ohne Loch homöomorph zur höherdimensionalen Sphäre sind. Dieses Problem ist so komplex und schwer zu beweisen, dass es über 100 Jahre gedauert hat, bis Grigori Perelmann 2003 schließlich einen vollständigen Beweis vorlegen konnte. Den Millenium-Preis mit einem Preisgeld von einer Million US-Dollar lehnte er ebenso ab wie die Fields-Medaille.



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