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Mengenlehre


Die Mengenlehre ist ein grundlegendes Teilgebiet der Mathematik. Zahlreiche mathematische Disziplinen werden heute auf der Mengenlehre aufgebaut, darunter Algebra, Analysis und Topologie.

In der Mengenlehre beschäftigt man sich mit den Begriffen Menge, Teilmenge, leere Menge, Schnittmenge und Vereinigungsmenge. Außerdem werden die Eigenschaften von Mengen und ihre Beziehungen untereinander untersucht, so betrachtet man beispielsweise Potenzmengen, die Gleichheit von Mengen oder ihre Mächtigkeit.

Geschichtliche Entwicklung

Obwohl die Mathematik heutzutage in der Sprache der Mengenlehre formuliert wird und auf ihren Axiomen aufbaut, wurde dieses Teilgebiet der Mathematik erst zum Ende des 19. bzw. Anfang des 20. Jahrhunderts entwickelt.

Georg Cantor: Begründer

Die Mengenlehre wurde von Georg Cantor in den Jahren 1874 bis 1897 begründet. Cantor klassifizierte die Mengen, insbesondere die unendlichen, nach ihrer Mächtigkeit. Für endliche Mengen ist das die Anzahl ihrer Elemente.

Cantor stellt unter anderem fest, dass die Menge der natürlichen Zahlen, der rationalen Zahlen und der algebraischen Zahlen alle abzählbar sind. Diese Mengen sind also alle gleichmächtig. Im Gegensatz dazu ist die Menge der reellen Zahlen überabzählbar. Er nutze zum Beweis seine berühmten Diagonalargumente.

Mengenlehre: Diagonalverfahren nach Cantor zur Mächtigkeit der rationalen Zahlen
Das Diagonalverfahren nach Cantor zur Mächtigkeit der rationalen Zahlen

Erstes Diagonalverfahren von Cantor: Die Abzählbarkeit der Menge der rationalen Zahlen wird durch eine Eins-zu-Eins-Zuordnung (mathematisch: eine bijektive Zuordnung) der natürlichen Zahlen gezeigt

Zermelo und Fraenkel: Die heutige Lehre

Nachdem sich Cantors Ansatz durchsetzte, versuchte man zu Beginn des 20. Jahrhunderts, die gesamte Mathematik auf der Mengenlehre aufzubauen. Ernst Zermelo und Abraham Fraenkel entwickelten einen stark axiomatischen Ansatz, die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre. Alle Objekte, mit denen man innerhalb dieser Lehre operiert, sind ausschließlich Mengen.

Einfache Mengenoperationen

Drei einfache Mengenoperationen, die man auf die zwei Mengen A und B - dargestellt durch die beiden Kreise - anwenden kann. Die rote Markierung zeigt das Ergebnis der jeweiligen Operation an.

Mengenlehre: einfache Mengenoperationen. Schnittmenge von A und B Mengenlehre: einfache Mengenoperationen. Komplementärmenge von A Mengenlehre: einfache Mengenoperationen. Vereinigung von A und B
Die Operationen „Schnittmenge“, „Komplementärmenge“ und „Vereinigungsmenge“


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