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Funktionentheorie

Die Funktionentheorie ist ein Teilgebiet der Mathematik. Sie befasst sich mit der Theorie differenzierbarer komplexwertiger Funktionen mit komplexen Variablen. Also mit den Eigenschaften von Funktionen (Zuordnungen), die komplexe Zahlen auf andere komplexe Zahlen abbilden.

Eine komplexe Zahl hat immer die Form ( x + iy ) mit der imaginären Zahl ( i = \sqrt(-1) ) und reellen Zahlen x, y

Wie in der reellen Analysis kann auch für komplexe Funktionen der Begriff der Differenzierbarkeit definiert werden. Komplex-differenzierbare Funktionen nennt man holomorph oder analytisch.

Da die Menge der holomorphen Funktionen recht klein ist, betrachtet man in der Funktionentheorie auch Funktionen, die außer in isolierten Punkten überall holomorph sind. Diese isolierten Punkte werden Singularitäten genannt.

Um einen Funktionsgraphen einer komplexen Funktion darzustellen, wird oft das sog. Domain Coloring genutzt. Eine übliche Darstellung als Funktionsgraph wie für reelle Funktionen reicht nicht aus, da sowohl die Zahlen im Werte- als auch im Definitionsbereich jeweils bereits aus zwei reellen Komponenten (x,y) besteht.

Beim Domain Coloring wird stattdessen jedem Pixel der Ebene ein Farbwert zugewiesen. Der Farbton kodiert dabei das Argument und die Helligkeit den Betrag der komplexen Zahl. Einige Domain Colorings aus unserer Bildergalerie:

Beispiele für Domain Colorings: Singularitäten und Symmetrien

Und jetzt für die Mathe-Profis: Ist eine Funktion in einer Umgebung um eine Singularität beschränkt, so kann man die Funktion in der Singularität holomorph fortsetzen. Diese Eigenschaft wird mit dem riemannschen Hebbarkeitssatz beschrieben.

Da insbesondere die Funktionentheorie mit nur einer komplexen Variablen oft Methoden aus der reellen Analysis nutzt, nennt man dieses Teilgebiet auch komplexe Analysis.

Zu den Hauptbegründern der Funktionentheorie gehören Augustin Louis Cauchy, Bernhard Riemann und Karl Weierstraß.


Funktionentheorie bei vismath

Blog-Artikel: Bernhard Riemann

17.09.2013von Anne Kahnt

Bernhard Riemann

Bernhard Riemann war einer der bedeutendsten Mathematiker des 19. Jahrhunderts. Er zählt zu den Begründern der Funktionentheorie und der Riemann'schen Geometrie, einem Teilgebiet der Differentialgeometrie. Mit seinen vielfältigen Arbeiten lieferte er zahlreiche wichtige Beiträge zur Mathematik seiner Zeit. Am bekanntesten ist wohl die noch heute unbewiesene Riemann-Hypothese, die er 1859 formulierte.

Erfahren Sie mehr über Bernhard Riemann.

Blog-Artikel: Thema: Domain Coloring

14.05.2013von Anne Kahnt

Film: Dimensions

Dimensions

In neun Kapiteln erzählt dieser Film anschaulich und allgemeinverständlich Geschichten aus der Mathematik, die uns auf eine Reise in die vierte Dimension vorbereiten. Die Kapitel beinhalten Themen aus Geometrie und Geographie, erzählen von Escher, Schläfli und Ptolemäus, von platonischen Körpern, komplexen Zahlen und Projektionen.

Der Film ist in mehrere Kapitel unterteilt, die zunehmend komplexere Themen behandeln. Doch gerade die ersten 5 Kapitel sind auch für Einsteiger geeignet. Viel Spaß!

Film: Möbiustransformationen beleuchtet

Möbiustransformationen beleuchtet

Möbiustranformationen sind winkeltreue Abbildungen der Ebene auf sich selbst. Alle Transformationen setzen sich aus drei Elementartypen zusammen: Translation, also Verschiebung, Drehstreckung und Inversion.

Dieser anschauliche Film zeigt die drei Elementartypen und mögliche Kombinationen aus ihnen. Neben dieser Darstellung der Transformationen in der Ebene eröffnet sich dem Zuschauer eine weitere Dimension und alle gezeigten Transformationen werden neu beleuchtet...

Film: Numbers

Numbers

Wir wenden jeden Tag Mathematik an. Manchmal bewusst, manchmal unbewusst. Und auch wenn uns Ereignisse zufällig erscheinen mögen – meist verbirgt sich gerade hinter Verbrechen ein mathematisches Muster. Die amerikanische Erfolgsserie Numbers (auch NUMB3RS) erzählt von zwei ungleichen Brüdern: dem FBI-Agenten Don und dem mathematisch hochbegabten Charlie. Sie nutzen die Mathematik, um gemeinsam Kriminalfälle zu untersuchen und aufzuklären.

Film: The Colours of Infinity

The Colours of Infinity

Arthur C. Clarke gibt eine Einführung in die Welt der Fraktale. Wir erfahren mehr über ihre Entdeckung, ihre faszinierenden Eigenschaften und die Menschen, die sich mit Fraktalen beschäftigen. Fraktale werden erst seit wenigen Jahrzehnten eingehend untersucht und faszinieren seitdem die Wissenschaft. Verschiedene Visualisierungen zeigen die unendliche Genauigkeit der Menge und ihre natürlich anmutenden Strukturen.