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Funktionentheorie


Die Funktionentheorie ist ein Teilgebiet der Mathematik. Sie befasst sich mit der Theorie differenzierbarer komplexwertiger Funktionen mit komplexen Variablen. Also mit den Eigenschaften von Funktionen (Zuordnungen), die komplexe Zahlen auf andere komplexe Zahlen abbilden.

Eine komplexe Zahl hat immer die Form \( x + iy \) mit der imaginären Zahl \( i = \sqrt(-1) \) und reellen Zahlen x, y

Wie in der reellen Analysis kann auch für komplexe Funktionen der Begriff der Differenzierbarkeit definiert werden. Komplex-differenzierbare Funktionen nennt man holomorph oder analytisch.

Da die Menge der holomorphen Funktionen recht klein ist, betrachtet man in der Funktionentheorie auch Funktionen, die außer in isolierten Punkten überall holomorph sind. Diese isolierten Punkte werden Singularitäten genannt.

Um einen Funktionsgraphen einer komplexen Funktion darzustellen, wird oft das sog. Domain Coloring genutzt. Eine übliche Darstellung als Funktionsgraph wie für reelle Funktionen reicht nicht aus, da sowohl die Zahlen im Werte- als auch im Definitionsbereich jeweils bereits aus zwei reellen Komponenten (x,y) besteht.

Beim Domain Coloring wird stattdessen jedem Pixel der Ebene ein Farbwert zugewiesen. Der Farbton kodiert dabei das Argument und die Helligkeit den Betrag der komplexen Zahl. Einige Domain Colorings aus unserer Bildergalerie:

Beispiele für Domain Colorings: Singularitäten und Symmetrien Beispiele für Domain Colorings: Singularitäten und Symmetrien Beispiele für Domain Colorings: Singularitäten und Symmetrien
Beispiele für Domain Colorings: Singularitäten und Symmetrien

Und jetzt für die Mathe-Profis: Ist eine Funktion in einer Umgebung um eine Singularität beschränkt, so kann man die Funktion in der Singularität holomorph fortsetzen. Diese Eigenschaft wird mit dem riemannschen Hebbarkeitssatz beschrieben.

Da insbesondere die Funktionentheorie mit nur einer komplexen Variablen oft Methoden aus der reellen Analysis nutzt, nennt man dieses Teilgebiet auch komplexe Analysis.

Zu den Hauptbegründern der Funktionentheorie gehören Augustin Louis Cauchy, Bernhard Riemann und Karl Weierstraß.



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Bild Domain Coloring: Algebra und Geometrie (B1-Poster)
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Bild Domain Coloring: Eine meromorphe Funktion (B1-Poster)
Bild Domain Coloring: Eine meromorphe Funktion (B1-Poster)

Das Bild zeigt ein Domain Coloring einer sogenannten meromorphen komplexen Funktion mit jeweils einer einfachen und einer doppelten Null- bzw. Polstelle. Diese sind durch die weißen Bereiche für Polstellen bzw. durch schwarze Bereiche für Nullstellen gekennzeichnet. Diese meromorphen Funktionen sind Quotienten zweier komplexer Polynome und somit sehr elementare mathematische Objekte.

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Bild Domain Coloring: Wesentliche Singularitäten (B1-Poster)
Bild Domain Coloring: Wesentliche Singularitäten (B1-Poster)

Das Bild zeigt das Domain Coloring einer sehr irregulären komplexen Funktion. Das mathematische Gebiet der Funktionentheorie beschäftigt sich mit den Eigenschaften und der Theorie solcher Funktionen. Hier abgebildet ist eine Funktion mit vielen sogenannten wesentlichen Singularitäten. Diese besonderen Stellen, an denen die Funktion eine Art Polstelle aufweist, sind im Domain Coloring durch die weißen Bereiche gekennzeichnet.

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Bild Exploring Complex Functions using Domain Coloring (B1-Poster)
Bild Exploring Complex Functions using Domain Coloring (B1-Poster)

In der diesjährigen International Science & Engineering Visualization Challenge, die jedes Jahr von der National Science Foundation und dem Wissenschaftsmagazin „Science“ veranstaltet wird, wurde dieses Bild „Exploring Complex Functions using Domain Coloring“ mit einem Honorable-Mention-Preis prämiert – der höchste Preis, der dieses Jahr in der Illustration-Kategorie vergeben wurde.

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