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Funktionalanalysis


Die Funktionalanalysis ist der Zweig der Mathematik, der sich mit der Untersuchung von unendlichdimensionalen topologischen Vektorräumen und Abbildungen auf solchen befasst. Grundidee der Funktionalanalysis ist es, Folgen und Funktionen als Punkte in einem Raum zu interpretieren und Probleme der Analysis für Abbildungen zwischen solchen Räumen zu studieren.

Hierbei werden Analysis, Topologie und Algebra verknüpft. Von zentraler Bedeutung sind die Begriffe Funktional – für eine Abbildung von Vektoren auf skalare Größen – und Operator – für eine Abbildung von Vektoren auf Vektoren.

Grundbegriffe der Analysis wie Stetigkeit, Ableitungen usw. werden in der Funktionalanalysis auf Funktionale und Operatoren erweitert. Gleichzeitig weitet man die Resultate der linearen Algebra auf topologisch lineare Räume aus, was mit sehr bedeutsamen Ergebnissen verbunden ist. Die historischen Wurzeln der Funktionalanalysis liegen im Studium der Fourier-Transformation und der Untersuchung von Differential- und Integralgleichungen.

Als Begründer der modernen Funktionalanalysis gelten Stefan Banach, Frigyes Riesz und Maurice René Fréchet.



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