Minimalflächen

Minimalflächen sind mathematische Flächen, die minimalen Flächeninhalt haben. Als Anschauung für Minimalflächen können Seifenblasen dienen. Gibt man einen Rahmen vor, so ist die Minimalfläche die Fläche, die diesen Rahmen ausfüllt und dabei die wenigste Fläche benötigt. Genau das tun Seifenblasen.

Für zweidimensionale Flächen ist eine Fläche eine Minimalfläche, wenn sie überall mittlere Krümmung 0 hat. Die mittlere Krümmung einer Fläche ist der Mittelwert der beiden Hauptkrümmungen an jedem Punkt. Mehr zum Krümmungsbegriff können Sie sich im Kapitel 6 vom Film „MESH“: Krümmung und Spannung ansehen.

Hier zeigen wir einige unterschiedliche Minimalflächen, die alle in verschiedenen Rahmen konstruiert werden.

Costa-Fläche

Die Costa-Minimalfläche ist ein klassisches Beispiel für eine Minimalfläche. Stellt man sich vor, dass die weißen Ränder Metalldrähte wären, würde idealerweise diese Fläche entstehen, sobald man die Drähte in Seifenlauge versenkt.

Die Costa-Fläche hat einige „Löcher“, die das sogenannte Geschlecht der Fläche bestimmen. Dieses Beispiel ist eine Costa-Fläche vom Geschlecht 2.

Richmond-Fläche

Die Richmond-Minimalfläche ist nach ihrem Entdecker Herbert William Richmond benannt, der diese Fläche 1904 erstmals beschreiben konnte. Sie besteht aus einem ebenen Teil und aus sich selbst durchdringenden Teilen ober- bzw. unterhalb dieser Ebene. Diese Teile haben die Form einer sogenannten Enneper-Fläche (nach Alfred Enneper).

Katenoid

Diese Minimalfläche ist ein sogenannter Katenoid mit 5 Öffnungen. Die hier verwendete Darstellung geht zurück auf Jorge und Meeks, siehe auch Jorge-Meeks k-Noids.

Wendel-Fläche

Diese Minimalfläche ist eine Mischung aus einer sogenannten Wendelfläche und eines Katenoiden. Eine Wendelfläche entsteht zum Beispiel, wenn man eine Sprungfeder mit einer Seifenhaut versieht. Fügt man die Enden der Feder dann zusammen, entsteht ein Ring, der dann mit dieser Fläche ausgefüllt wird.

Gyroid

Die dreifach-periodische Gyroid-Minimalfläche wurde 1970 von Alan Schoen entdeckt. Sie ist eng mit der Schwarz-P und Schwarz-D-Minimalfläche verwandt, die ebenfalls dreifach periodisch sind. Der Gyroid teilt den Raum übrigens in zwei identische Systeme von Wegen die sich nicht kreuzen.

Chen-Gackstatter-Fläche

Diese Fläche ist ein Vertreter der Chen-Gackstatter-Minimalflächen. Sie sind Modifiaktionen der Enneper-Fläche und haben einige „Löcher“. Mehr zu dieser Familie von Minimalflächen hier.

Mehr Bilder und Code

Alle Bilder bis hierhin benutzen wir mit freundlicher Erlaubnis von Paul Nylander. Mehr Flächen und weitere Informationen finden Sie auf seiner Webseite (http://www.bugman123.com/) und speziell auf der Seite zu den Minimalflächen (http://www.bugman123.com/MinimalSurfaces/).

Die Bilder sind visualisiert mir der Software POV-Ray (http://www.povray.org/) oder Mathematica (http://www.wolfram.com/products/mathematica/). Der Code, den man zum Erstellen der Bilder benötigt, finden Sie ebenfalls auf der Webseite von Paul Nylander.

Minimalflächen

Wer sich für Minimalflächen interessiert findet bei uns noch einige Bastelbögen für drei diskretisierte Minimalflächen, nämlich von der Schwarz-P-, Schwarz-D und Schön-FRD-Minimalfläche.

Seifenhäute

Wer mit Seifenhäuten Minimalflächen erzeugen möchte, dem empfehlen wir den Zometool-Bausatz „Crazy Bubbles“. Damit kann man aus den Zometool-Teilen viele verschiedene Formen bauen, die in Seifenlauge getaucht tolle Minimalflächen ergeben: