Nachdem wir nun einige Eigenschaften der zweiten und dritten Dimension gesammelt haben (siehe Kapitel 1 und Kapitel 2), begeben wir uns hier zum ersten Mal in die vierte Dimension.
Begleitet werden wir in diesem Kapitel vom schweizer Mathematiker Ludwig Schläfli. Schläfli beschäftigte sich mit mehrdimensionalen Räumen, ihren Eigenschaften und Polyedern. Er war der erste Wissenschaftler, der alle regulären Polyeder des vierdimensionalen Raumes beschrieb.
Dimensions Kapitel 3: Dimension 4
Um einen vierdimensionalen Polyeder zu konstruieren, beginnen wir mit einem eindimensionalen Segment – eine Linie. Verbindet man mehrere Linien, erhält man zum Beispiel ein Dreieck. Mehrere zweidimensionale Dreiecke ergeben wiederum einen vierdimensionalen Tetraeder. Und nun nutzen wir mehrere 3D-Tetraeder, um einen 4D-Körper, einen sogenannten Simplex, zu konstruieren.
Um vierdimensionale Polyeder in unserer dreidimensionalen Welt zu verstehen, denken wir nochmal zurück an die Eidechsen aus dem zweiten Kapitel. Wir wollen versuchen, die dort verwendeten Methoden zur Darstellung von 3D-Polyedern in der 2D-Ebene auch hier anzuwenden – und 4D-Polyeder im 3D-Raum visualisieren.
Konstruktion eines 4D-Simplex
Und genau wie im vorherigen Kapitel werden wir versuchen, diese Objekte anhand ihrer Schatten zu betrachten. So können wir versuchen, Rückschlüsse auf ihre Eigenschaften und Symmetrien zu ziehen. Die Schatten der vierdimensionalen Objekte sind jetzt dreidimensionale, also räumliche Körper.
Verschiedene Schatten der vierdimensionalen Körper
4D-Polyeder visualisiert in drei Dimensionen. Erklärungen und Beschreibungen zu den Körpern finden Sie beim Klick auf das jeweilige Bild.
Zusätzlich zum Simplex betrachten wir hier vierdimensionale Körper wie den 24-Zell, einen 600-Zell und einen 120-Zell.
Aus dem ersten Kapitel kennen wir noch eine andere Art von Projektion: Die stereographische Projektion. Auch mit dieser Methode können wir die Körper untersuchen.
Kapitel 3: Dimension 4
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